高中数学函数知识点总结范文

　　函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。下面和小编一起来看高中数学函数知识点总结，希望有所帮助！

　　高中数学函数知识点总结 1

　　1.函数的奇偶性

　　（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x);

　　（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0（可用于求参数）；

　　（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)≠0）;

　　(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

　　（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

　　2.复合函数的有关问题

　　（1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

　　（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；

　　3.函数图像（或方程曲线的对称性）

　　(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

　　（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；

　　（3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

　　（4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

　　（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；

　　（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；

　　4.函数的周期性

　　(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；

　　（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；

　　（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；

　　（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；

　　（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；

　　（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数；

　　5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域)；

　　6.a≥f(x)恒成立a≥［f(x)］max,;a≤f(x)恒成立a≤［f(x)］min;

　　7.（1）(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

　　(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

　　(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

　　8.判断对应是否为映射时，抓住两点：

　　（1）A中元素必须都有象且唯一；

　　（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

　　9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

　　10.对于反函数，应掌握以下一些结论：

　　（1）定义域上的单调函数必有反函数；

　　（2）奇函数的反函数也是奇函数；

　　（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

　　（4）周期函数不存在反函数；

　　（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；

　　(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-－1(x)]=x(x∈B),f-－1[f(x)]=x(x∈A).

　　11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

　　12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

　　13.恒成立问题的处理方法：

　　（1）分离参数法；

　　（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；

　　高中数学函数知识点总结 2

　　1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。

　　2、函数定义域的解题思路：

　　⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。

　　⑵偶次方根的被开方数不小于0。

　　⑶对数式的真数必须大于0。

　　⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

　　⑸指数为0时，底数不得为0。

　　⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

　　⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

　　3、相同函数

　　⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。

　　⑵定义域一致，对应法则一致。

　　4、函数值域的求法

　　⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

　　⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

　　⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。

　　⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

　　5、函数图像的变换

　　⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

　　⑵伸缩变换：在x前加上系数。

　　⑶对称变换：高中阶段不作要求。

　　6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。

　　⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

　　⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。

　　⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　7、分段函数

　　⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。

　　⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。

　　⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。

　　8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g的复合函数。

　　高一数学必修五知识点总结：

　　空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

　　1、按是否共面可分为两类：

　　(1)共面：平行、相交

　　(2)异面：

　　异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

　　异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

　　两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)

　　两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)

　　2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

　　(1)有且仅有一个公共点——相交直线;

　　(2)没有公共点——平行或异面

　　高一数学直线和平面的位置关系：

　　直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

　　①直线在平面内——有无数个公共点

　　②直线和平面相交——有且只有一个公共点

　　直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

　　空间向量法(找平面的法向量)

　　规定：

　　a、直线与平面垂直时，所成的角为直角。

　　b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角。

　　由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]。

　　最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。

　　三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

　　直线和平面垂直：

　　直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

　　直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

　　直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

　　③直线和平面平行——没有公共点

　　直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

　　直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

　　直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

　　(1)有且仅有一个公共点——相交直线;

　　(2)没有公共点——平行或异面

　　高中数学函数知识点总结 3

　　(1)高中函数公式的变量：因变量，自变量。

　　在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

　　(2)一次函数：

　　①若两个变量,间的关系式可以表示成(为常数，不等于0)的形式，则称是的一次函数。

　　②当=0时，称是的正比例函数。

　　(3)高中函数的一次函数的图象及性质

　　①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

　　②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。

　　③在一次函数中，当0，O，则经2、3、4象限;当0，0时，则经1、2、4象限;当0，0时，则经1、3、4象限;当0，0时，则经1、2、3象限。

　　④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。

　　(4)高中函数的二次函数：

　　①一般式：对称轴是顶点是;

　　②顶点式：对称轴是顶点是;

　　③交点式：其中，是抛物线与x轴的交点

　　高中数学函数知识点总结 4

　　一、函数的概念与表示

　　1、映射

　　(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

　　注意点：

　　(1)对映射定义的理解。

　　(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

　　2、函数

　　构成函数概念的三要素：

　　①定义域

　　②对应法则

　　③值域

　　两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

　　二、函数的解析式与定义域

　　1、求函数定义域的主要依据：

　　(1)分式的分母不为零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

　　(3)对数函数的真数必须大于零;

　　(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

　　三、函数的值域

　　1求函数值域的方法

　　①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

　　②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

　　③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

　　④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

　　⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

　　⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

　　⑦利用对号函数

　　⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

　　四.函数的奇偶性

　　1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

　　如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

　　函数。

　　2.性质：

　　①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称。

　　②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

　　3.奇偶性的判断

　　①看定义域是否关于原点对称

　　②看f(x)与f(-x)的关系

　　五、函数的单调性

　　1、函数单调性的定义：

　　2设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

　　高中数学函数知识点总结 5

　　一次函数：　　一、定义与定义式：

　　自变量x和因变量y有如下关系：

　　y=kx+b

　　则此时称y是x的一次函数。

　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

　　即：y=kx（k为常数，k≠0）

　　二、一次函数的性质：

　　1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　　即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）

　　2、当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

　　三、一次函数的图像及性质：

　　1、作法与图形：通过如下3个步骤

　　（1）列表；

　　（2）描点；

　　（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

　　2、性质：

　　（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

　　（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（—b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

　　3、k，b与函数图像所在象限：

　　当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

　　当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　　当b>0时，直线必通过一、二象限；

　　当b=0时，直线通过原点

　　当b<0时，直线必通过三、四象限。

　　特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

　　这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四象限。

　　四、确定一次函数的表达式：

　　已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

　　（4）最后得到一次函数的表达式。

　　五、一次函数在生活中的应用：

　　1、当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

　　2、当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S—ft。

　　六、常用公式：

　　1、求函数图像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

　　2、求与x轴平行线段的中点：|x1—x2|/2

　　3、求与y轴平行线段的中点：|y1—y2|/2

　　4、求任意线段的长：√（x1—x2）^2+（y1—y2）^2（注：根号下（x1—x2）与（y1—y2）的平方和）

　　二次函数：　　一、定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　二、二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

　　顶点式：y=a（x—h）^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]

　　交点式：y=a（x—x）（x—x）[仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4ax，x=（—b±√b^2—4ac）/2a

　　三、二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　四、抛物线的性质

　　1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x=—b/2a。

　　对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

　　2、抛物线有一个顶点P，坐标为P（—b/2a，（4ac—b^2）/4a）

　　当—b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2—4ac=0时，P在x轴上。

　　3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

　　5、常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6、抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b^2—4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b^2—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b^2—4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=—b±√b^2—4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　五、二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0。

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1、二次函数y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式顶点坐标对称轴：

　　y=ax^2（0，0）x=0；

　　y=a（x—h）^2（h，0）x=h；

　　y=a（x—h）^2+k（h，k）x=h；

　　y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）x=—b/2a；

　　当h>0时，y=a（x—h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到。

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

　　当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　当h>0，k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　当h<0，k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x—h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。

　　2、抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的'图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=—b/2a，顶点坐标是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）。

　　3、抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤—b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥—b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤—b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥—b/2a时，y随x的增大而减小。

　　4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

　　（2）当△=b^2—4ac>0，图象与x轴交于两点A（x，0）和B（x，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　　（a≠0）的两根。这两点间的距离AB=|x—x|

　　当△=0。图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0。图象与x轴没有交点。当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

　　5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0（a<0），则当x=—b/2a时，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a。

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

　　6、用待定系数法求二次函数的解析式

　　（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c（a≠0）。

　　（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x—h）^2+k（a≠0）。

　　（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x—x）（x—x）（a≠0）。

　　7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

　　反比例函数：

　　形如y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：

　　反比例函数的图像为双曲线。

　　由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原点对称。

　　另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。

　　当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

　　当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

　　反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

　　知识点：

　　1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

　　2、对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/（x±m）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

　　高中数学函数知识点总结 6

　　十七世纪函数概念：

　　十七世纪伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔(Descartes，法，1596-1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。

　　1673年，莱布尼兹首次使用function(函数)表示幂，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用流量来表示变量间的关系。

　　十八世纪函数概念：

　　1718年约翰柏努利(JohannBernoulli，瑞士，1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量。他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。1748年，柏努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说：一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。

　　1755，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)把函数定义为如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。

　　18世纪中叶欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)给出了定义：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了随意函数。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

　　十九世纪函数概念：

　　1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857)从定义变量起给出了定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。

　　1822年傅里叶(Fourier，法国，17681830)发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。

　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德国，1805-1859)突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。

　　等到康托(Cantor，德国，1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880-1960)用集合和对应的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了变量是数的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。

　　现代函数概念：

　　1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念序偶来定义函数，其避开了意义不明确的变量、对应概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义序偶使豪斯道夫的定义很严谨了。

　　1930年新的现代函数定义为若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。

　　高中数学函数知识点总结 7

　　一、变量与函数

　　[变量和常量]

　　在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。

　　[函数]

　　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数。如果当 时 ，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值。

　　[自变量取值范围的确定方法]

　　1、 自变量的取值范围必须使解析式有意义。

　　当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数;当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数;当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。

　　2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

　　[函数的图像]

　　一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

　　[描点法画函数图形的一般步骤]

　　第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);

　　第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);

　　第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。

　　[函数的表示方法]

　　列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

　　解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

　　图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

　　[正比例函数]

　　一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数(proportional function)，其中k叫做比例系数。

　　[正比例函数图象和性质]

　　一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1，k)的直线，我们称它为直线y=kx，当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。

　　(1) 解析式：y=kx(k是常数，k≠0)

　　(2) 必过点：(0，0)、(1，k)

　　(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限;k<0时，图像经过二、四象限

　　(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小

　　(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴

　　[正比例函数解析式的确定]——待定系数法。

　　1. 设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)

　　2. 把已知条件(一个点的坐标)代入解析式，得到关于k的一元一次方程

　　3. 解方程，求出系数k

　　4. 将k的值代回解析式

　　二、一次函数

　　[一次函数]

　　一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k 0)函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。

　　[一次函数的图象及性质]

　　一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(- ，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。（当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)

　　(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k 0)

　　(2)必过点：(0，b)和(- ，0)

　　(3)走向： k>0，图象经过第一、三象限;k<0，图象经过第二、四象限

　　b>0，图象经过第一、二象限;b<0，图象经过第三、四象限；

　　直线经过第一、二、三象限；

　　直线经过第一、三、四象限；

　　直线经过第一、二、四象限；

　　直线经过第二、三、四象限。

　　(4)增减性： k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小。

　　(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴。

　　(6)图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位;

　　当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位。

　　[直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系]

　　(1)两直线平行：k1=k2且b1 b2

　　(2)两直线相交：k1 k2

　　(3)两直线重合：k1=k2且b1=b2

　　[确定一次函数解析式的方法]

　　(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式;

　　(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程;

　　(3)解方程得出未知系数的值;

　　(4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果。

　　[一次函数建模]

　　函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题，建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题。

　　正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线，这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义。

　　从图象中获取的信息一般是：

　　(1)从函数图象的形状判定函数的类型;

　　(2)从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义。

　　解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数。

　　三、用函数观点看方程(组)与不等式

　　[一元一次方程与一次函数的关系]

　　任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值。

　　[一次函数与一元一次不等式的关系]

　　任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围。

　　[一次函数与二元一次方程组]

　　(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= 的图象相同。

　　(2)二元一次方程组 的解可以看作是两个一次函数y= 和y= 的图象交点。

　　三个重要的数学思想：

　　1.方程的思想。数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中数学最重要的就是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是方程。

　　2.数形结合的思想。任何一道题，只要与形沾边，就应该根据题意中的草图分析一番。这样做，不但直观，而且全面，整体性强。

　　3.对应的思想。

　　初中生数学成绩的提高，需要靠自己勤加练习和脚踏实地的去接受数学。

　　合数的概念：

　　合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

　　高中数学函数知识点总结 8

　　一般地，函数y=logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

　　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

　　(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

　　(2)对数函数的值域为全部实数集合。

　　(3)函数总是通过(1，0)这点。

　　(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

　　(5)显然对数函数无界。

　　高中数学函数知识点总结 9

　　1、变量与常量

　　在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

　　一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

　　2、函数解析式

　　用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

　　使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

　　3、函数的三种表示法及其优缺点

　　（1）解析法

　　两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

　　（2）列表法

　　把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

　　（3）图像法

　　用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

　　4、由函数解析式画其图像的一般步骤

　　（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值。

　　（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。

　　（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

　　高中数学函数知识点总结 10

　　一、增函数和减函数

　　一般地，设函数f(x)的定义域为I：

　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。

　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

　　二、单调区间

　　单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大（或减小）恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间。

　　一、指数函数的定义

　　指数函数的一般形式为y=a^x(a0且≠1) (x∈R)。

　　二、指数函数的性质

　　1.曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）

　　2.曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）

　　一、对数与对数函数定义

　　1.对数：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

　　2.对数函数：一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

　　二、方法点拨

　　在解决函数的综合性问题时，要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决，然后再整合解决的结果，这也是分类与整合思想的一个重要方面。

　　一、幂函数定义

　　形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

　　二、性质

　　幂函数不经过第三象限,如果该函数的指数的分子n是偶数,而分母m是任意整数,则y0,图像在第一;二象限.这时(-1)^p的指数p的奇偶性无关。

　　如果函数的指数的分母m是偶数,而分子n是任意整数,则x0(或xy0(或y=0),图像在第一象限.与p的奇偶性关系不大。