流体力学三大方程的推导

微分形式连续的性程方

续连程方是体流力学基的本程之方， 流体一动运的续连方，程反流体运动和映流体质 量分的关系，它是在质布守恒量律在定流 力体学的中应用

重。点讨不论表同现式形流的体连续方程。

用一个微六

面体控制体建元微分形式立的续连性程。方 设在流场中一固取不动的微平定六行面体（制体控，在直）角标坐系o xzy中， 六面的边体长取为x d，dy，dz。

看先x 轴方 向的流动流体，A从BC面 D入流面六，从E体FG面流出。H

在x 轴方向出流与入流质之差量

?( ?x u )? (ux?) [ ?u x? xd]ydzdd ? t u? dyxddzt? dx yddzd ?xt?

x

用样同的方法可得在，y方轴和向z方轴向流的出流入与质 量之分别为差

(? u?y ?)y

dx

ydzdd

t?( ?u

z) ddydzdtx z

这?，在样d t时间内通过面六体全的六个面净流出的部质量为

：? ?(ux) ? (u y? )(?? zu )[ ? ? ]dxdydzd t ?x?x ?x

在d t的时内间六面，内体质的量减了 ( 少?

?? xdddydt z ，) ?

t

根质量据守恒定律，流出六面体的净质量等必于六体内面减所的质量

少

?( u? x) ?( u? y )? (?u z) ?? ? [ ?]dxdyzdt d ?? ddyxdzd tx?? y?z ?

这t就直角坐是系标中体运动的流微形分的式连性方续。

?程( ? ux ?)( ? u )y? ( ?u z )?? ? ?? 0??x ? y?z ?

代t单位表时间内，单体位积内 量质净的出 代表流单时位内间单，体积位的 量变质

化这

是就角直坐标中系流体运动微的形式分的连续方性程。

在连续方中程

?

( u?x ) ? ( u?y ) ? ? u z( ?)?? ? ? ?0 ?x ? y? ?z

? ?t? ? di(v? ) ?u( ?ux ) (?? yu ) (? u? z) x ?y??z

利用

散公度： 得到式

?? ? di?(v? u ? )0 t?

用矢量场基利本算公运和式体随数公式导

：得到

? ??? d v iu u?? ? ? ?0 t

??D ? ?? div u ? 0 t

Ddiv(

u?) ? ? d vi u ? u???

? D? ? ? ?? ?u? ? t D?

讨t论

?

? ，0连方续程可简为化 ， ⑴对定常于流动 ，?t

??? d v i? ? v? ? ?t

0di

v ? ?v? 0?压或不

压可流体。

—微分—式

形

表明定常*动运时单位体，内流进流出积质的量等相适用。可

于? ? D 0，连方续程可化为简 ⑵， 对不于压可缩体流，D t

idv ?v0

D?

?? div v? 0为因 tD

*表对明不压可流，体体积在随运动中体保不持。变用适定常于 不或定常流。体

微分式形的动运方

程

动运程方流是体动运最的本基运的动原学，即理找 流体出运动它受和到的作用之力间关系的数的学表 达式，依的理据原理是论顿牛运动定律或动量定理，的下面 用欧拉法利式形立建微形分的运式动程方

。

作用于体的力流

分析象：对 流体以界中面? 围包的体为

积体的作流用力表 力

面

?

流体的块

质

量

力

质量

力量质（力力体：是指）作用所有流体于质点力。的

如

重、万有引力等力

（ 。 ）质1力量长是力：它随相程作互用的素之元间距的离 的增而加减，对小一般于体的特流征动距离运言而均，能 示出显。 来（2 ）它是一分布力，分布种于体流的块个整积内体流 ，块所受的体质力与其量围周有其无流体他存在无关系并 通。常情下，作用况流于的质量体通常力就指重力是

。

? 如果

F 示表单质量位的体的质量流，规定其力为 ：?F? ? Fli m?m ?0 ? ?m m?的 体块流的质上量力。 其 中? ?F 是作用质在为 ?量 难看出，不 F以可看做的分布力密度。例

：如对于处力重用作的物体而言质，量力的布密分度 或者说单?位质的流体的质量量就力是重加速力 g度 。

表面 表力力面是指流：体内之间或者部流与其他体物体之 间的接面上所受到触的相作互用力 。如流体部内粘性应的和力力压流、与固体体触面接 上的摩擦力等 （。1 ）面力表一是种程力短源：分子于间的相作用互。面表力 随互作用元相之间素的离距增而迅速加弱减，有在只 相作用互素元间距离的分子与离距量同时，级面力表显才 现出来 （ 。2流体）块各内部之间的分面表力相是作用而相互抵消 的，互有只处界面于上的流体质所受的点由，界面外流体侧所 施加表的面存在力。 （ 3）面力表也一是分布力种，布分在相互触的接面上。

界

义定位单积面的上面表力：为

?

其中 ?p? 是用作某于个体面流积?上 的?表力

面? p

?p ? li m? ?0??

?质

力量表和面的比力

较数

因而，构成一个矢量了场

。 矢量?F 是质量力 分布的度密它，是间和空间时点的

函量质力和面表有力着质本差别。的

? 而

矢量p 为流体的力应，矢它不但时是和空间点间 函数，的并在且间每空一还点着随受力面元取向不同而变的化 ? 。 所?要以定应力矢 p 确，须考虑必点的矢 径 、r该受点力 n? 元面的方（向或说者元的面向单法位矢） 以时间及 。t ? ? 切确地应说力是两矢个量（矢r n、） 一和标个量函数 t。

在运

流动体选中取小一面六体体， 元 其z长边别分为 ?：x ,?y ?z, 据牛顿第根定律二：

?

zd ?V? ?xy ?z =质力量+面表 力d

x

?y

tx?

y

为

了出流导体的动方运，首程来分先析体小元受力的情况。

方x质量向力析分x方向的

量力质

? F? mx? F x ?? x ?y? z

x 向表方力分析面周

流体围对体小元的个表六有面面表力的.作用，通而六个 侧面过用作小于体沿元 x方

向的面表力别为：分

x?

?

xy??

p?zxx

? xp?xyz?

p

x

xp?x x? ? p ?? ??y?x zx 前后x侧面： ?? ?x?

? xp ?x?y?z x小体所元的受方向的表x力面= 前侧后面之和：? x

?

py x?? 左右侧： ?面? p y x? ? y y?? ?? ?z ?x ?

p

?yx x??z

p?xz ?? z? ??x?y 下上面侧： ?p x ?z?z ? ?

p ?z?x?x

y

此因，围流周体通六个侧面过用作于小体沿元x向的 方表面力力合：为

? ?px x?p xy?p zx? ? ? ?x ?y?? ? z ??x???yz? ?

x

方 合向力析

分据牛运动定顿：小体律元力等受于其质量加速与度的乘：

积?

?pxx p ?x y?zp x?d u ? ??xy?? ?z xF??x ??y ? z? ?? x???y ?z? d t ?y ?z ?? ?x方程可

简以化为

：du1 ? ? px x p y? x?zxp ? ? F?x? ? ? ? ?td? ? ? ?xy?z ?

?单位质量体流 在 x方的向动运程方

同理

可：得

vd1 ? p? yx? py y?p yz? ??F y?? ? ? ?dt? ? x? y ?? z??

位单量质流体 y在 向的运动方程方d

1w? ?pxz ?p yz ? zzp? ?? Fz ? ? ?? ?d ?t? x? ? ?zy ??

单质位量体流 z在方 向的动方程

运流

体运方程的动遍形式

普矢量

形式

??? ? ? ? ?p z pd 1 V?? p x ?F?y? ? ? ? dt ??? x? y z?

? ? ? ?

? ?

1 dV 者：或 F?? ? ?P dt ?

??? ? ? ?P? ? ?? ?x? y ? z ??

?

xp pxy pxzx ? ?? ? px ypyy py ? ?z? ?pzx zy ppzz

?

微分形的能量方程式

能

量恒守定律自然界的普是规遍，流律体运在过动程 1动能、程方 也是遵循该定律。 中、2流量方热 程立孤系（与统外没有界质量能量的交换）、流：体在运 动过可程以随着各伴形式的种能量之的间相转互换，但3、伯努 利方 总能量起不变的； 程是

孤非系立统：能量的变总化，于外等力包（质量括 力和系外部的表面统）对系力所统的做和所吸功的收量。热

统系能的量

对

于量，主能要指为种形式三内能、：动能重力势能。

单及质位的量能-内----e-：体流子分热运动而具有能量； 的位质单量动能-的-----v/2表示2单位 质量重力的势---能---gz-由：万有力引起与，位的置高有差关

；单

位质量的能量总（储能）存------e-s： 则体为?的流体积系统的量能E:

1

2 s ?ee ?v ? g z2

1

2 E? ? ?e sd ?? ? ?(e? v ?gz )d?? ? 2

力热第学定一

对理于一静个止热的力学系（统起始或和止状态终处静于的止系统：系 统）存能储的增加等于力对外系所统作的功与界外递传给统系的量热和之。

一个确

的流定体也可看作团一热个力系统学流体，

质点在总流中动设， 系该统偏离平态衡不远系：总能量的变化统率包（括能和内动）等于外力能系 对统的功作率功通与过热向系导统传的热功之和率。

于某对系统，单一时位对间统所系的功（作际上实就 是功）率 d用

td

W

表

，单位时间示给系统的热量加 Q用表，则示

系统

能 量E变的化率为 :

D E dW ?? Q t Dt

d系统的总在量能，中已考虑位单质量重力的能，则质势 力量作功率中功不将包括重力作功功率 。将热力第一定律应学于流体用运动把上式各项，用关的有流 物理体表示量出，即是来能量方程。

推导微分式形的量方程能的思路：根据热学力第一律定系统能量 的，变率化等外力单于时位对系间所统的作功与通热传导向系过单位统时

间所的热量传之。和即 : 单位 间时系统量的能化变= 单位间时力对外统所系的作

+ 单功时间位界传递给系外统热的量

外力

对统系作的功=所质 力所量作的+表面力功所的功作外界

递传给系的统量热= 导热传+射热辐 下面有关用的流体物的量来表达上理各述项。

①

单时间系统位能的量化 方法 1

?变( ?u x ? ( ? ) yu ? ()? zu) ? ? ??? ?0 x ??y z ??

t微

元系统能量的时间变化也分为两率部分，一部分是控体制内储存能 变的化，其单位时间变化的为率

?

(?e s ) d x d y dz ?t另一

分部为控制面迁移经能量的引起，的位时间经单全控制部面净出流的储存 能为

?

??? ?( ? e ) ?u ?(ve ) ? ( ?w e) s ss?d d yxd ? ?x zy ?z??

?

这

微样系统总元储的能的存时变间率化这为部分两和之

：

?D E ?? ? ? ?? (?? s e )? ?(us ) ? e( ?ves) ? ( ?w e s?)d x d y d zD t? ?t ?x? y? z ?? ??? ?? ( ?es ) ?iv( ?d es v)?d x d y z d ?t ??? ? ?? ?? ?( ?e s ) ?(v ?? ) ?e(s) ??sedivv ? d x d d zy? ?t ? ? ?D ?? ? (? s e ) ??sed iv ? d xv dy z d D? t? ? ??D ? Ds ? ?? ? es ? ?es eivdv ? d x d ydz D t ?t ?D ?? ? ?D esD? ?? ? es ? ?( dvi v )? dx y dd zDt ? D t ?De ?s d ?dxy z dDt

①单

位间系统能时量的化 方变 法 体2数 导 在:t 时 刻微六面元系体统的存能储 ?e

sd

xd y z ，d系统能其量的

随D

s De EDD ?( ?e sxdddzy ) ? ?ddyxzd? es ( d?dxdy )zDt D tDt D t Dse?? d xd dy z系统质量的随 体数 D导

t于由统系量的随体导数等质于。零

0es

D

( ? xdydz ) ?d 0D

t计②算力外微对元所作的 功括质量力包表与面力作所功的

单位时间。质内量所作的力为

功

??Fb1 ? dv x d y d

（z为么什是积点

）表力所作面功的将依各，应力分量分别计。算 x方

向的应单位时间力作所功

为

后面前压的力单时位间所内的作功

? ? ??p xx?u ? ? p? ?d x u d ? ? x p u??? x x d? dy ??z x x? x? ?x ?? ??

左右?面切的单力时位内间作的所

功??

p yx? ? ?? ?? d uy ?? u ? d y ?? p yux? d z xd?? p y x ? ?y y ?? ??? ?? 上

面的下力切单位间内时所作功的

??? ?px ?z ?u ? ?p d?zu dz? ? puzx d?dy x?? ??? x z?z ?z ?? ????

方向x的应单位力时间作所功为 后前压力面

左面右力切

?? ? pyx? ? ?u ? ??? px?x ? ?? u?? ? ?pxx ?? xd x? ? u ? ?x x ? d? xpux ? dy d z ?? ?p y x? ?yd y? u ? ?y? d y ?? pyx u? d d z ?x ? ?? ? ? ????? ? ? ?p? ??? u ?? ??? zx ? zx dpz ??u ? d z ? ? p zux ?d xd y上下切力面 z? ?? ?z ? ? ?

??

?u ? px yp ?xy? u? ??u px? ?pxx ?xu ?? ?pxx ? u d ? ?x xd d yd z? p ?x y ?? udy ? xddy dz?x ? x? ?y y ?? ? ? xx ? ??y y? ?p u ? ? ?? ?p ? ?upz x ?zxu ?z xd z d ? dxy d ?z zz ??? z ??

z

? py x?u?? ? xp x?u p?x ?u z?? ?? (?px u x ?) (p xuy )? pzx( )u ?d ? dy?x zd?d d x d z y?y ? zx ?? xy ?y? ?z? z? ? x? ??? ? ??? (pxxu ) ? ( pyu x) ? (pzx u ) ? xdd d yz? y? ? z? x

?什么等于0为

同， y理 向应的力功作

为??

??? ? ? ( xpyxv ) ?y?( p y vy)? ?z (pyzv) ? d dx dy z?? 同理， z

向的 应作力功为

? ? ??? ? x ? (xzpw) ? ?y ( yz p)w? ? (z pzzw) ? d xd y dz ?

?

将

部全表力所面功作相可加写为

??? ? ? ?? ? ?? ( p )u ?( p ) ?u p u( )dxdy z ?d( v p)? (pv ) (?p v d x) dydz ? y xz xx yy yyz ?x ?xx? ?? y ?z ?y? ?z ? ? ?? x ?? ? ?? ?( p w ) ( ?pw )? ( p w ) z yzz? ? x z ?xdxd yd z? ? zy ?

?? ? ? ? ? ??( p xx ?u xp v y?pxz w )?( p xuy p yy?v ?p y zw ) ? pz(u ? xp zy v p?zz w )? dxddyz y?? z ??x? ?? ? ? ?? (p x ??v ) ? p (y? v) ? ( z p? )v d?x d yd ?zy ? ?z ?x ?这样

对微元，六面，质体力量除（重去）和表力力面单在位时间共的功作

为

W d? ?? ? ??? ?? ?? ? ?? ? ?F ?bv ? (p x v?) ?p(y ? v ) (p ?z? v ?)d x y d zdd tx? ?y ?z? ?

③后最计算加给微元六面体再热量 的里计这的只是算射辐及热传导两种热 。辐热射通是电过磁波对体产流热量，设单生时 位

间内由辐传入单射位量质 体的热流量q，为单位则时间在内微元产内辐射生为

热?

d qx dy d

z导传热通过体表流面入传体流。ABD面元C传微元入热量的

为?k

?T dyd z?x

单时间内通位A过?B? ?C?面元D传微入元的量热

?为 T ?? ? T? k dy d ?z?k y d dz d? x?x ? x ?? x?

于

单位是间经时BCA、 AD? B?C D?两面共?传热量入

为? ?T?? kdy d z ?d ?x ?x? ? x

?AA ?D? 、 DB ? C?C 两相B对元面位单间传入时热量

? 为? ?? T? ? k zd d dyx ? ??y? ? y?

?AA BB ?D、?DC?两相对面元C位单时间传热入量

为

? ??T ? d dx yd z ?k ?? z? z?

?

因而

微元体经全部表，单面时间传入位微元的量为

热 ?? ??T ? ? ? T?? ? ? ? ??T? k? ?k ? ? ??? xdd d z ? yk? ? ?? ?x ?? ?x y ? ?? ? yz?? ?z ? ??? ? (k?T) d x dy d

zQ

? [? q ??? (k ?T ) ]dx d yd z 依热力学第一

律定

?D ? ? ? ??? es xdd y d z ? ? F? b1? v? ( px ? v ) t Dx?? ? ? ? ??? ? (p? y ? v)? (pz ? v) ? ?q ? ?? k(T )?? d x d dy z y ?z? ?

D ? ? ? ? e

s? Fb?1?V ? p x (?V ) ? p( ? y )V? (p z ? V )? ? q ? ? (k?? T ) t ?xD y? ?

z?

p x? V ?pxx u ? pxyv ?p xzw ?? p? y V ? ?p xy u? p yy v?p y zw ? ?p? ?z V pz?x u?pzy v ?p z wz上式

右三个量组成端一个了量矢以表并示

?

xp ?xp ? V ? ? p x ?y pz x?

pyxp y ypzy

p

x z? u ?? ?pxxu ? pyxv ? pz x w ? ?? ? ?? zyp ? v? ?? ? p xuy? p yyv ? py wz ? p? ?up v?p w?? ? p z ?zw ? ?? ? x zz yzz?

三个量 和之

? ? ? ??? ? ? (p x? ? )v ?p y( ?v ?) p (z? v )构 成散了度：? x?y ?

?z ? ? ??? ?? ? ? p( x? v) ? ( yp ? v ) (p?z ? ) v div?P( ? )v?x ? y z

?D

?D1 2 ?? s ? e ?e? v ? g z ?? Dt t ?D 2 ?? ?? ?F?b1 ? ? vid(v P v? )? d v(i kgrad T ? ?)

这就是q微分式的形能方量。

将程上式以除?，有

?

1 ?1 D s ? Fbe 1 ? v? di vP( ? v ) ? dv(i krgd aT ? q Dt)? ?

?1 ? 1 D es ?F b 1 v ? div(? ? v P )? dvik( gar T ) ?d qDt ??

式中各的项理物意：义 端左单位为质量体流存储（能包括能、内动量势及）能的化变；率

右端一项第为单位间内质时量（力除重去力）单位质对流体量作所 ；功 二项为单位时第内表面力间单位对质量流所作体功； 的第项三为单时间内位界通外过单质量位流体表面传入的传热，导

四项第为位单间内时加

给单位质流体量的射辐。热