定积分的计算方法总结

第1篇：定积分的计算方法总结

定积分是高数中的一个重点内容，以下是小编收集的相关总结，仅供大家阅读参考!

定积分

1、定积分解决的典型问题

（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要*质

●*质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●*质设m及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤m（b-a）,该*质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●*质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx都收敛，则定义∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。

定积分的应用

1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）

●直角坐标系下（含参数与不含参数）

●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式s=r2θ/2)

●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积v=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）

●平行截面面积为已知的立体体积（v=∫aba（x）dx,其中a（x）为截面面积）

●功、水压力、引力

●函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx）

第2篇：定积分计算方法总结

导语：学习需要总结，只有总结，才能真正学有所成。以下是定积分计算方法总结，供各位阅读和参考。

一、定积分的计算方法

1.利用函数奇偶*

2.利用函数周期*

3.参考不定积分计算方法

二、定积分与极限

1.积和式极限

2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3.洛必达法则

4.等价无穷小

三、定积分的估值及其不等式的应用

1.不计算积分，比较积分值的大小

1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x)>=g(x),则>=()dx

2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)

b)当0<x<兀/2时，2/兀<<1

2.估计具体函数定积分的值

积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为m，最小值为m则

m(b-a)<=<=m(b-a)

3.具体函数的定积分不等式*法

1)积分估值定理

2)放缩法

3)柯西积分不等式

≤?%

4.抽象函数的定积分不等式的*法

1)拉格朗日中值定理和导数的有界*

2)积分中值定理

3)常数变易法

4)利用泰勒公式展开法

四、不定积分计算方法

1.凑微分法

2.裂项法

3.变量代换法

1)三角代换

2)根幂代换

3)倒代换

4.*后积分

5.有理化

6.和差化积法

7.分部积分法（反、对、幂、指、三）

8.降幂法

第3篇：求定积分的方法的总结

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！如下是小编给大家整理的求定积分的方法的总结，希望对大家有所作用。

1.知识网络

2.方法总结

(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限

(2)定积分几何意义：

①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab

②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a

反数

(3)定积分的基本*质：

①kf(x)dx=kf(x)dxaabb

②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dxaaa

③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxaac

(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xini=1nbbbbbcb

①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义

③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x)ba

一、不定积分计算方法