趣题妙解及高中数学学习方法

　　趣题妙解

　　一个国际象棋盘。是一个8×8的64方格，欧拉曾研究过棋盘上马的跳跃问题，他证明了，存在一个马的跳跃路线，从一点出发，经过每一格一次且仅一次。最后又跳回到初始点。

　　上述的这样一个马步跳跃路线，称为棋盘上的马步哈密顿回路；如果不限制最后一步还要能跳回到始点，则称为马步哈密顿路。定义m，n是正整数，一个（m，n）马，是指在一个充分大的棋盘上一步可纵横跳m，n个格或n，m个格。于是，国际象棋的马是（1，2）马。下面给出一个定理，它刻画了（2，3）马和（1，2）马的本质区别。定理从8×8棋盘上任一点出发，均不存在（2，3）马的马步哈密顿路。证把8×8棋盘分成A，B两个区，如右图1所示：

　　分两种情形证明：(1)若起始点在A区，存在（2，3）马的马步哈密顿路，由于从A区的任一方格经一步（2，3）马，它可以到A区的一格或B区的一格；而由B区的一格经一步（2，3）马只能跳到A区的一格，注意到A区的方格数和B区的方格数是同样多的，所以必须从A区到B区，再由B区至A区的交替跳跃，才可能不重复地跳遍A，B两区。另一方面，我们把棋盘依黑白两色染色，如右图2所示：这样，从A区的白（黑）格，经一步（2，3）马，必到B区的黑（白）格，再从B区的黑（白）格经一步又回到A区的白（黑）格，如此下去，则只能跳过A区的白（黑）格和B区的黑（白）格，这和其存在（2，3）马的马步哈密顿路相矛盾。(2)若起始点在B区，若存在着马步哈密顿回路，则（2，3）马不能交替地在B区与A去之间跳跃，否则归约到情形(1)的类似证明。于是，存在一步且仅有一步从区到区的跳跃，这是因为A区与B区的方格数相等，从B区的方格经一步(2，3)马必须跳到A区的缘故。考虑图１中下面的3行，如下图所示：

　　现考虑（2，3）马在P，Q，R之间的跳跃。若P，Q，R均尚未跳过。有以下情形：

　　（i）（2，3）马首先跳到P点（首先跳到R的情形是类似的），由A，B区的构造，知必是A区跳到P点的。继而由（2，3）马从P至Q，Q至R。如果只不是最后一个未跳过的点。则下一步必须跳至A区的某一点。这样就出现了在A区之间的2次跳跃，因此R就是最后一个未跳过的点。当R是最后一个未跳过的点时，则考虑点S，T，U之间的（2，3）马的马步跳跃。当先跳到S或U时，由上述讨论可知，在S，T，U间会出现第2次从A区到A区的跳跃；当先跳到T时，由下述（ii）的推理知至少出现两次从A区到A区的跳跃。

　　（ii）（2，3）马首先跳到Q点，则（2，3）马从Q至P，P必至A区，经若干步又由A区跳到R点，至少出现2次从A区至A区的跳跃。（Q先至R后到P，讨论相同）

　　若从Q不跳到P或R点，它必跳到A区的某一点，则在以后的跳跃中，必然会出现一次从A区跳至P点，一次从A区跳至R点，同样会出现至少2次的从A区至A区的跳跃。总之，至少存在着2步从A区至A区的（2，3）马的跳跃，这与存在（2，3──马马步哈密顿路及A区，B区方格数相等相矛盾，定理证毕。

　　高二数学学习的六个简单方法

　　在高中数学学习中，数学概念的学习毫无疑问是重中之重，概念不清，一切无从谈起。

　　一、温故法

　　学习新概念前，如果能对孩子认知结构中原有的适当概念作一些结构上的变化来引进新概念，则有利于促进新概念的形成。

　　二、操作法

　　对有些概念的教学，可以从感性材料出发，让孩子在操作中去发现概念的发生和发展过程。

　　三、类比法

　　这种方法有利于分析两相关概念的异同，归纳出新授内容有关知识;有利于帮助孩子架起新、旧知识的桥梁，促进知识迁移，提高探索能力。

　　四、喻理法

　　为正确理解某一概念，以实例或生活中的趣事、典故作比喻，引出新概念.

　　五、置疑法

　　这种方法是通过揭示教学自身的矛盾来引入概念，以突出引进新概念的必要性和合理性，调动孩子了解新概念的强烈的动机和愿望。

　　六、创境法

　　如在讲相遇问题时，为让孩子对相向运动的各种可能的情况有所感受，可以从研究"鼓掌时两只手怎样运动"开始。通过拍手体验，在边问、边议中逐步讲解。实践证明，如此使孩子犹如身临其境去体验并理解有关知识，能很快准确地掌握相关的数学概念。

　　数学高考解题经验 排除干扰项

　　编者按：小编为大家收集了“数学高考解题经验:排除干扰项”，供大家参考，希望对大家有所帮助!

　　高考试卷分为选择题和非选择题两张试卷，我们通常把一卷叫选择题，二卷叫非选择题。一卷的选择题又有单选和多选之分、正确与错误之分，外语学科又有最佳选项的题型。一卷试题的特点有三个：一是起点低，选择题的前几题与会考试题难度很接近;二是一卷的总体难度比二卷要容易一些;三是有些学科的选择题分值比较高，比如理科综合，一题6分。因此提高一卷的得分率对于提高高考总成绩有着举足轻重的作用。如何提高一卷的得分率?首先要明确选择题的结构和命题意图，这些对于考生来说既是至关重要的又是考生的薄弱环节，我们以单选题(四选一)为例进行表述。

　　选择题命题的标准有四条：

　　一、题干围绕一个中心，选项和题干的关系一致;

　　二、干扰有效，能反映考生的典型错误;

　　三、各选项的结构、长度大体一致;

　　四、正确选项分布均匀。

　　对于考生来说后三条都是十分重要的。先说第二条，我们以单选为例，单选题中有四个选项，一个正确选项，其它三个选项是错误的，但不能叫错误选项，应当叫“干扰项”。“干扰项”是有作用和任务的：一要干扰，二要干扰有效，三要反映考生的典型错误。

　　我们有些考生基础扎实、能力强，怎么干扰都不糊涂;我们有些考生知识有漏洞，一干扰就糊涂了，这就是干扰项的功能与作用。相当一部分考生在回答单选题的时候用排除法，这是可以的，四个选项中有两个选项是很容易就排除了，这两个选项中我称之为“次干扰项”;剩下两个选项的筛选难度加大，考生很难下决心，这两个选项中有一个是正确选项，另一个就是我称之为的“主干扰项”，“主干扰项”的任务是要把学生学习典型的错误干扰出来。2007年北京市文科综合有一道选择题，正确选项是D，统计结果有59%考生选择了A，那么A就成了主干扰项。这时候考生要从知识网络中把解决这个问题的“工具”、“依据”——基础知识——调动出来，仔细运算、做图分析、认真思考，最终将主干扰项排除，千万不能猜、押。为了保证干扰项有效，各选项的长度、结构大体一致，所以判断时不能以文字多少、结构变化为依据。所谓正确选项分布均匀是指A、B、C、D都安排了正确选项，当然正确选项不能按A、B、C、D顺序排列，有的时候临近两个试题的选项都是A或B，这样题与题之间又可以构成干扰。总之排除干扰要从基础知识出发，认真思考、认真分析。

　　提高一卷得分率还有两点要注意：

　　一是珍惜第一判断，许多考生在思考选择题时的思维方式是“直觉思维”，“直觉思维”不是主观猜测，它是“直接领悟事物本质”的一种思维方式，它对考生回答选择题和填空题有特别的作用，当然直觉思维的后续工作是检验结果是否正确，如果思维结果和检验结果一致，那么这个答案肯定是正确的。

　　第二，一卷选择题的前几题虽然不难，但一定要复查!原因很简单，在刚开始答题时，心情比较紧张，慢慢的心情就放松了，这是考试心理规律，因此对前几题一定要认真复查，有错必纠。

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　　高中数学公式：数学韦达定理公式_高中数学公式

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　　韦达定理公式：

　　一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中

　　设两个根为x和y

　　则x+y=-b/a

　　xy=c/a

　　韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0

　　它的根记作X1,X2…,Xn

　　我们有

　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

　　…

　　∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

　　其中∑是求和，∏是求积。

　　如果一元二次方程

　　在复数集中的根是，那么

　　法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

　　韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

　　定理的证明

　　设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，且不妨令x_1 ge x_2。根据求根公式，有

　　x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}

　　所以

　　x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，

　　x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac

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　　高三数学概率训练题

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

　　1．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：

　　①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；

　　②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；

　　③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；

　　④“取出3只红球”与“取出3只白球”．

　　其中是对立事件的有( )

　　A．①② B．②③

　　C．③④ D．③

　　D解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”三种情况，与“取出3只红球”是对立事件.

　　2．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是( )

　　A.14 B.13

　　C.12 D.23

　　C解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝24＝12.

　　3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲 、乙两人下一盘棋，你认为最为可能出现的情况是( )

　　A．甲获胜 B．乙获胜

　　C．甲、乙下成和棋 D．无法得出

　　C解析：两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是 下成和棋.

　　4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( )

　　A．1－π4 B.π4

　　C．1－π8 D．与a的取值有关

　　A 解析：几何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故选A.

　　5．从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是( )

　　A.16 B.25

　　C.13 D.23

　　D 解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率P＝46＝23.

　　6．从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )

　　A.310 B.112

　　C.4564 D.38

　　D解析：4个元素的集合共16个子集，其中含有两个元素的子集有6个，故所求概

　　率为P＝616＝38.

　　7 ．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )

　　A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为34

　　C．淋雨的可能性为12 D．淋雨的可能性为14

　　D解析：基本事件有“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下

　　雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.

　　8．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )

　　A.19 B.112

　　C.115 D.118

　　D解析：基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12个，故求概率为P＝12216＝118.

　　9．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则N的所有可能值为( )

　　A．3 B．4

　　C．2和5 D．3和4

　　D解析：点P(a，b)的个数共有2×3＝6个，落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故选D.

　　10．连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是( )

　　A.512 B.12

　　C.712 D.56

　　C 解析：基本事件总数为36，由cosθ＝abab≥0得ab≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4) 高二，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P＝2136＝712.

　　11．在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格的边长(方格边长设为a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1% ( )

　　A．a＞910 B．a＞109

　　C．1＜a＜109 D．0＜a＜910

　　C解析：硬币与方格线不相交，则a＞1时，才可能发生，在每一个方格内，当硬币的圆心落在边长为a－1，中心与方格的中心重合的小正方形内时，硬币与方格线不相交，故硬币与方格线不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.

　　12．集合A＝{(x，y)x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)y≤－x＋5，x∈N}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于 ( )

　　A.14 B.29

　　C.736 D.536

　　B解析：根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知A∩B对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a，b)∈A∩B的概率为836＝29，

　　二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

　　13．若实数x，y满足x≤2，y≤1，则任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率为__________．

　　解析：点(x，y)在由直线x＝±2和y＝±1围成的矩形上或其内部，使x2＋y2≤1的点(x，

　　y)在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其内部，故所求概率为P＝π4×2＝π8.

　　答案：π8

　　14．从所有三位二进制数中随机抽取一个数，则这个数化为十进制数后比5大的概率是

　　________．

　　解析：三位二进制数共有4个，分别111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)与110(2)化为十

　　进制数后比5大，故所求概率为P＝24＝12.

　　答案：12

　　15．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程

　　组mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一组解的概率是__________．

　　1718 解析：由题意，当m2≠n3，即3m≠2n时，方程组只有一解．基本事件总数为36，

　　满足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个，故满足3m≠2n的基本事件数为34个，

　　故所求概率为P＝3436＝1718.

　　16．在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，点P是圆内的

　　任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最

　　大，则m＝__________.

　　0 解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大，

　　则点P落在平面区域E内的概率最大．

　　三、解答题：本大题共6小题，共70分．

　　17．(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿 命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示

　　分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)

　　频数 48 121 208 223 193 165 42

　　频率[]

　　(1)将各组的频率填入表中；

　　(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率；

　　(3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管．

　　解析：

　　分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)

　　频数 48 121 208 223 193 165 42

　　频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042

　　(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，

　　所以，灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6.

　　(3)由(2)只，灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6.

　　15×0.6＝9，故经过1 500小时约需换9支灯管．

　　18．(12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸 取一个球．

　　(1)一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

　　(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．

　　解析：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：

　　(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、

　　(黑、红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑、黑、黑)．

　　(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A，

　　事件A包含的基本事件为：

　　(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)．

　　事件A包含的基本事件数为3.

　　由(1)可知，基本事件总数为8，

　　所以事件A的概率为P(A)＝38.

　　19．(12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.设复数z＝a＋bi.

　　(1)求事件“z－3i为实数”的概率；

　　(2)求事件“复数z在复平面内的对应点(a，b)满足(a－2)2＋b2≤9”的概率．

　　解析：(1)z－3i为实数，

　　即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，∴b＝3.

　　又b可取1,2,3,4,5,6，故出现b＝3的概率为16.

　　即事件“z－3i为实数”的概率为16.

　　(2)由已知，b的值只能取1,2,3.

　　当b＝1时，(a－2)2≤8，即a可取1,2,3,4；

　　当b＝2时，(a－2)2≤5，即a可取1,2,3,4；

　　当b＝3时，(a－2)2≤0，即a可取2.

　　综上可知，共有9种情况可使事件成立．

　　又a，b的取值情况共有36种，

　　所以事件“点(a，b)满足(a－2 )2＋b2≤9”的概率为14.

　　20．(12分)汶川地震发生后，某市根据上级要求，要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗求助，其中A1，A2，A3是护理专家，B1，B2，B3是外科专家，C1，C2是治疗专家．

　　(1)求A1恰被选中的概率；

　　(2)求B1和C1不全被选中的概率．

　　解析：(1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为：

　　(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18个基本事件．

　　用M表示“A1恰被选中 ”这一事件，则

　　M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6个基本事件．

　　所以P(M)＝618＝13.

　　(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则 其对立事件N表示“B1和C1全被选中”这一事件，

　　由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3个基本事件，

　　所以P(N)＝318＝16，

　　由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.

　　21．(12分)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

　　(1)若a是从－4，－3，－2，－1四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

　　(2)若a是从区间[－4，－1]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

　　解析：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

　　当a＜0，b＞0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a＋b≤0.

　　(1)基本事件共12个：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，

　　(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．

　　其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为

　　P(A)＝912＝34.

　　(2)试验的全部结果所构成的区域为

　　{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3}，构成事件A的区域为{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，

　　所求概率为这两区域面积的比．

　　所以所求的概率P＝3×2－12×223×2＝23.

　　22．(12分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．

　　(1)共有多少种安排？

　　(2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？

　　(3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？

　　解析：(1)安排情况如下：

　　甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12种安排方法．

　　(2)甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，故甲、乙两人都被安排(记为事件A)的概率为

　　P(A)＝212＝16.

　　(3)方法一：“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立事件，∵甲、乙两人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”两种，则“甲、乙两人都不被安排的概率为212＝16”．

　　∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.

　　方法二：甲、乙两人中至少有一人被安排的情况包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10种，∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1012＝56.

　　坐标系的由来

　　传说中有这么一个故事：

　　有一天，笛卡尔（1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们（如图 1）。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示（如图2）。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。

　　图1

　　图2

　　无论这个传说的可靠性如何，有一点是可以肯定的，就是笛卡尔是个勤于思考的人。这个有趣的传说，就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了灵感。

　　直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究 高中地理。

　　笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了用代数方法来研究几何图形的数学分支——解析几何。他的设想是：只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特性的点组成的。比如，我们把圆看成是一个动点对定点O作等距离运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点O的.距离相等的点组成的。我们把点看作是留成图形的基本元素，把数看成是组成方程的基本元素，只要把点和数挂上钩，也就可以把几何和代数挂上钩。

　　把图形看成点的运动轨迹，这个想法很重要！它从指导思想上，改变了传统的几何方法。笛卡尔根据自己的这个想法，在《几何学》中，最早为运动着的点建立坐标，开创了几何和代数挂钩的解析几何。在解析几何中，动点的坐标就成了变数，这是数学第一次引进变数。

　　恩格斯高度评价笛卡尔的工作，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。”

　　坐标方法在日常生活中用得很多。例如象棋、国际象棋中棋子的定位；电影院、剧院、体育馆的看台、火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用到坐标的概念。

　　随着同学们知识的不断增加，坐标方法的应用会更加广泛。

　　高中数学学习方法：八个诀窍助你战胜20xx高考数学

　　编者按：小编为大家收集了“高中数学学习方法：八个诀窍助你战胜20xx高考数学”，供大家参考，希望对大家有所帮助!

　　成也“数学”，败也“数学”。数学确实是不少高三考生心中的痛。如何提高数学复习的针对性和实效性?京翰老师先教你一个门道---“三问法”。第一问自己：“学懂了没有?”---主要解决“是什么”的问题，即学了什么知识;第二问自己：“领悟了没有?”---主要解决“为什么”的问题，即用了什么方法;第三问自己：“会用了没有?”---主要解决“做什么”的问题，即解决了什么问题。接下来再具体说说走进“门道”的八个诀窍。

　　1.认真研读《考试说明》和《考纲》 《考试说明》和《考纲》是每位考生必须熟悉的最权威最准确的高考信息，通过研究应明确“考什么”、“考多难”、“怎样考”这三个问题。

　　命题通常注意试题背景 高三，强调数学思想，注重数学应用;试题强调问题性、启发性，突出基础性;重视通性通法，淡化特殊技巧，凸显数学的问题思考;强化主干知识;关注知识点的衔接，考察创新意识。

　　《考纲》明确指出“创新意识是理性思维的高层次表现”。因此试题都比较新颖活泼。所以复习中你就要加强对新题型的练习，揭示问题的本质，创造性地解决问题。

　　2.多维审视知识结构 高考数学试题一直注重对思维方法的考查，数学思维和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括。知识是思维能力的载体，因此通过对知识的考察达到考察数学思维的目的。你需要建立各部分内容的知识网络;全面、准确地把握概念，在理解的基础上加强记忆;加强对易错、易混知识的梳理;要多角度、多方位地去理解问题的实质;体会数学思想和解题的方法。

　　3.把答案盖住看例题 参考书上例题不能看一下就过去了，因为看时往往觉得什么都懂，其实自己并没有理解透彻。所以，在看例题时，把解答盖住，自己去做，做完或做不出时再去看，这时要想一想，自己做的与解答哪里不同，哪里没想到，该注意什么，哪一种方法更好，还有没有另外的解法。经过上面的训练，自己的思维空间扩展了，看问题也全面了。如果把题目的来源搞清了，在题后加上几个批注，说明此题的“题眼”及巧妙之处，收益将更大。

　　4.研究每题都考什么 数学能力的提高离不开做题，“熟能生巧”这个简单的道理大家都懂。但做题不是搞题海战术，要通过一题联想到多题。你需要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径，在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系又养成多角度思考问题的习惯。

　　与其一节课抓紧时间大汗淋淋地做二、三十道考查思路重复的题，不如深入透彻地掌握一道典型题。例如深入理解一个概念的多种内涵，对一个典型题，尽力做到从多条思路用多种方法处理，即一题多解;对具有共性的问题要努力摸索规律，即多题一解;不断改变题目的条件，从各个侧面去检验自己的知识，即一题多变。习题的价值不在于做对、做会，而在于你明白了这道题想考你什么。

　　5.答题少费时多办事 解题上要抓好三个字：数，式，形;阅读、审题和表述上要实现数学的三种语言自如转化(文字语言、符号语言、图形语言)。要重视和加强选择题的训练和研究。不能仅仅满足于答案正确，还要学会优化解题过程，追求解题质量，少费时，多办事，以赢得足够的时间思考解答高档题。要不断积累解选择题的经验，尽可能小题小做，除直接法外，还要灵活运用特殊值法、排除法、检验法、数形结合法、估计法来解题。在做解答题时，书写要简明、扼要、规范，不要“小题大做”，只要写出“得分点”即可。

　　6.错一次反思一次 每次考试或多或少会发生一些错误，这并不可怕，要紧的是避免类似的错误在今后的考试中重现。因此平时要注意把错题记下来，做错题笔记包括三个方面：(1)记下错误是什么，最好用红笔划出。(2)错误原因是什么，从审题、题目归类、重现知识和找出答案四个环节来分析。(3)错误纠正方法及注意事项。根据错误原因的分析提出纠正方法并提醒自己下次碰到类似的情况应注意些什么。你若能将每次考试或练习中出现的错误记录下来分析，并尽力保证在下次考试时不发生同样错误，那么在高考时发生错误的概率就会大大减少。

　　7.分析试卷总结经验 每次考试结束试卷发下来，要认真分析得失，总结经验教训。特别是将试卷中出现的错误进行分类。(1)遗憾之错。就是分明会做，反而做错了的题。(2)似非之错。记忆不准确，理解不够透彻，应用不够自如;回答不严密不完整等等。(3)无为之错。由于不会答错了或猜错了，或者根本没有作答，这是无思路、不理解，更谈不上应用的问题。原因找到后就尽早消除遗憾、弄懂似非、力争有为。切实解决“会而不对、对而不全”的老大难问题。

　　8.优秀是一种习惯 柏拉图说：“优秀是一种习惯”。好的习惯终生受益，不好的习惯终生后悔、吃亏。如“审题之错”是否出在急于求成?可采取“一慢一快”战术，即审题要慢，要看清楚，步骤要到位，动作要快，步步为营，稳中求快，立足于一次成功，不要养成唯恐做不完，匆匆忙忙抢着做，寄希望于检查的坏习惯。

　　以上就是为大家提供的“高中数学学习方法：八个诀窍助你战胜20xx高考数学”希望能对考生产生帮助.