2023-2023初二数学上期末试卷（带答案）

　　紧张而有序，效率是关键，期末考试来临，今天小编就给大家带来2023-2023初二数学上期末试卷(带答案)，欢迎大家参考。

　　一、选择题(共8小题，每小题3分，满分24分)

　　1.49的平方根是(　　)

　　A. 7 B. ±7 C. ﹣7 D. 49

　　2.(﹣3)2的算术平方根是(　　)

　　A. 3 B. ±3 C. ﹣3 D.

　　3.在实数﹣ ，0，﹣π， ，1.41中无理数有(　　)

　　A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

　　4.在数轴上表示1、 的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点C，则点C表示的实数为(　　)

　　A. ﹣ 1 B. 1﹣ C. 2﹣ D. ﹣2

　　5.用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是(　　)

　　A. 假定CD∥EF B. 已知AB∥EF

　　C. 假定CD不平行于EF D. 假定AB不平行于EF

　　6.如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是(　　)

　　A. 5 B. C. D.

　　7.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是(　　)

　　A. BC=EC，∠B=∠E B. BC=EC，AC=DC C. BC=DC，∠A=∠D D. ∠B=∠E，∠A=∠D

　　8.如图，一架长25米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距离墙底端7分米，如果梯子的顶端下滑4分米，那么梯子的底部平滑的距离为(　　)

　　A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米

　　二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)

　　9.计算： =　　　　　　.

　　10.计算：﹣a2b•2ab2=　　　　　　.

　　11.计算：(a2)3&pide;(﹣2a2)2=　　　　　　.

　　12.如图是2023～2023学年度七年级(1)班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图.如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是　　　　　　人.

　　13.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为12，AE=5，则△ABC的周长为　　　　　　.

　　14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°.按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F;②分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D.则∠ADC的度数为　　　　　　.

　　三、解答题(共9小题，满分78分)

　　15.分解因式：3x2y+12xy2+12y3.

　　16.先化简，再求值3a﹣2a2(3a+4)，其 中a=﹣2.

　　17.已知a2﹣b2=15，且a+b=5，求a﹣b的值.

　　18.如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE.求证：MD=ME.

　　19.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.

　　(1)求∠F的度数;

　　若CD=2，求DF的长.

　　20.如图已知，CE⊥AB，BF⊥AC，BF交CE于点D，且BD=CD.

　　(1)求证：点D在∠BAC的平分线上;

　　若将条件“BD=CD”与结论“点D在∠BAC的平分线上”互换，成立吗?试说明理由.

　　21.设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，60≤x≤75为C级，x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

　　(1)在这次调查中，一共抽取了　　　　　　名学生，α=　　　　　　%;

　　补全条形统计图;

　　(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为　　　　　　度;

　　(4)若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名?

　　22.某号台风的中心位于O地，台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A在O地正西方向与O地相距320千米处，试问A市是否会遭受此台风的影响?若受影响，将有多少小时?

　　23.感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)

　　拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF.

　　应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为　　　　　　.

　　参考答案与试题解析

　　一、选择题(共8小题，每小题3分，满分24分)

　　1.49的平方根是(　　)

　　A. 7 B. ±7 C. ﹣7 D. 49

　　考点： 平方根.

　　专题： 存在型.

　　分析： 根据平方根的定义进行解答即可.

　　解答： 解：∵(±7)2=49，

　　∴49的平方根是±7.

　　故选B.

　　点评： 本题考查的是平方根的定义，即如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

　　2.(﹣3)2的算术平方根是(　　)

　　A. 3 B. ±3 C. ﹣3 D.

　　考点： 算术平方根.

　　专题： 计算题.

　　分析： 由(﹣3)2=9，而9的算术平方根为 =3.

　　解答： 解：∵(﹣3)2=9，

　　∴9的算术平方根为 =3.

　　故选A.

　　点评： 本题考查了算术平方根的定义：一个正数a的正的平方根叫这个数的算术平方根，记作 (a>0)，规定0的算术平方根为0.

　　3.在实数﹣ ，0，﹣π， ，1.41中无理数有(　　)

　　A. 1个 B . 2个 C. 3个 D. 4个

　　考点： 无理数.

　　分析： 根据无理数是无限不循环小数，可得答案.

　　解答： 解：π是无理数，

　　故选：A.

　　点评： 本题考查了无 理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数.

　　4.在数轴上表示1、 的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点C，则点C表示的实数为(　　)

　　A. ﹣1 B. 1﹣ C. 2﹣ D. ﹣2

　　考点： 实数与数轴.

　　分析： 首先根据已知条件结合数轴可以求出线段AB的长度，然后根据对称的性质即可求出结果.

　　解答： 解：∵数轴上表示1， 的对应点分别为A、B，

　　∴AB= ﹣1，

　　设B点关于点A的对称点C表示的实数为x，

　　则有 =1，

　　解可得x=2﹣ ，

　　即点C所对应的数为2﹣ .

　　故选C.

　　点评： 此题主要考查了根据数轴利用数形结合的思想求出数轴两点之间的距离，同时也利用了对称的性质.

　　5.用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是(　　)

　　A. 假定CD∥EF B. 已知AB∥EF

　　C. 假定CD不平行于EF D. 假定AB不平行于EF

　　考点： 反证法.

　　分析： 根据要 证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出.

　　解答： 解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF.

　　∴证明的第一步应是：从结论反面出发，故假设CD不平行于EF.

　　故选：C.

　　点评： 此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键.

　　6.如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是(　　)

　　A. 5 B. C. D.

　　考点： 全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.

　　专题： 计算题;压轴题.

　　分析： 由三角形ABC为等腰直角三角形，可得出AB=BC，∠ABC为直角，可得出∠AB D与∠EBC互余，在直角三角形ABD中，由两锐角互余，利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，及AB=BC，利用AAS可得出三角形ABD与三角形BEC全等，根据全等三角形的对应边相等可得出BD=CE，由CE=3得出BD=3，在直角三角形ABD中，由AD=2，BD=3，利用勾股定理即可求出AB的长.

　　解答： 解：如图所示：

　　∵△ABC为等腰直角三角形，

　　∴AB=BC，∠ABC=90°，

　　∴∠ABD+∠CBE=90°，

　　又AD⊥BD，∴∠ADB=90°，

　　∴∠DAB+∠ABD=90°，

　　∴∠CBE=∠DAB，

　　在△ABD和△BCE中，

　　，

　　∴△ABD≌△BCE，

　　∴BD=CE，又CE=3，

　　∴BD=3，

　　在Rt△ABD中，AD=2，BD=3，

　　根据勾股定理得：AB= = .

　　故选D

　　点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了转化的数学思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

　　7.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是(　　)

　　A. BC=EC，∠B=∠E B. BC=EC，AC=DC C. BC=DC，∠A=∠D D. ∠B=∠E，∠A=∠D

　　考点： 全等三角形的判定.

　　分析： 根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.

　　解答： 解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意;

　　B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意;

　　C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意;

　　D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意;

　　故选：C.

　　点评： 本题考查 三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

　　注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

　　8.如图，一架长25米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距离墙底端7分米，如果梯子的顶端下滑4分米，那么梯子的底部平滑的距离为(　　)

　　A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米

　　考点： 勾股定理的应用.

　　分析： 在直角三角形AOC中，已知AC，OC的长度，根据勾股定理即可求AO的长度，

　　解答： 解：∵AC=25分米，OC=7分米，

　　∴AO= =24分米，

　　下滑4分米后得到BO=20分米，

　　此时，OD= =15分米，

　　∴CD=15﹣7=8分米.

　　故选D.

　　点评： 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中两次运用勾股定理是解题的关键.

　　二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)

　　9.计算： =　﹣2　.

　　考点： 立方根.

　　专题： 计算题.

　　分析： 先变形得 = ，然后根据立方根的概念即可得到答案.

　　解答： 解： = =﹣2.

　　故答案为﹣2.

　　点评： 本题考查了立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫a的立方根，记作 .

　　10.计算：﹣a2b•2ab2=　﹣2a3b3　.

　　考点： 单项式乘单项式.

　　分析： 根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可.

　　解答： 解：﹣a2b•2ab2=﹣2a3b3;

　　故答案为：﹣2a3b3.

　　点评： 本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键.

　　11.计算：(a2)3&pide;(﹣2a2)2=　 a2　.

　　考点： 整式的除法.

　　分析： 根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可.

　　解答： 解：原式=a6&pide;4a4

　　= a2，

　　故答案为 a2.

　　点评： 本题考查了整式的除法，熟练掌握幂的乘方和积的乘方是解题的关键.

　　12.如图是2023～2023学年度七年级(1)班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图.如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是　5　人.

　　考点： 扇形统计图.

　　专题： 计算题.

　　分析： 根据参加外语兴趣小组的人数是12人，所占百分比为24%，计算出总人数，再用1 减去所有已知百分比，求出绘画的百分比，再乘以总人数即可解答.

　　解答： 解：∵参加外语小组的人数是12人，占参加课外兴趣小组人数的24%，

　　∴参加课外兴趣小组人数的人数共有：12&pide;24%=50(人)，

　　∴绘画兴趣小组的人数是50×(1﹣14%﹣36%﹣16%﹣24%)=5(人).

　　故答案为：5.

　　点评： 本题考查了扇形统计图，从图中找到相关信息是解此类题 目的关键.

　　13.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为12，AE=5，则△ABC的周长为　22　.

　　考点： 线段垂直平分线的性质.

　　分析： 由AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，根据垂直平分线的性质得到两组线段相等，进行线段的等量代换后结合其它已知可得答案.

　　解答： 解：∵DE是AC的垂直平分线，

　　∴AD=DC，AE=EC=5，

　　△ABD的周长=AB+BD+AD=12，

　　即AB+BD+DC=12，AB+BC=12

　　∴△ABC的周长为AB+BC+AE+EC=12+5+5=22.

　　△ABC的周长为22.

　　点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识;进行线段的等量代换是正确解答本的关键.

　　14.如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠CA B=50°.按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F;②分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D.则∠ADC的度数为　65°。

　　考点： 全等三角形的判定与性质;直角三角形的性质;作图—复杂作图.

　　分析： 根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可.

　　解答： 解：解法一：连接EF.

　　∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，

　　∴AF=AE;

　　∴△AEF是等腰三角形;

　　又∵分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点G;

　　∴AG是线段EF的垂直平分线，

　　∴AG平分∠CAB，

　　∵∠CAB=50°，

　　∴∠CAD=25°;

　　在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，

　　∴∠ADC=65°(直角三角形中的两个锐角互余);

　　解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，

　　∴∠CAD=25°;

　　在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，

　　∴∠ADC=65°(直角三角形中的两个锐角互余);

　　故答案是：65°.

　　点评： 本题综合考查了作图﹣﹣复杂作图，直角三角形的性质.根据作图过程推知AG是∠CAB平分线是解答此题的关键.

　　三、解答题(共9小题，满分78分)

　　15.分解因式：3x2y+12xy2+12y3.

　　考点： 提公因式法与公式法的综合运用.

　　分析： 原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

　　解答： 解：原式=3y(x2+4xy+4y2)

　　=3y(x+2y)2.

　　点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

　　16.先化简 ，再求值3a﹣2a2(3a+4)，其中a=﹣2.

　　考点： 单项式乘多项式.

　　分析： 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括 号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可.

　　解答： 解：3a﹣2a2(3a+4)

　　=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2

　　=﹣20a2+9a，

　　当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98.

　　点评： 本题考查了整式的化简.整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地2023年中考的常考点.

　　17.已知a2﹣b2=15，且a+b=5，求a﹣b的值.

　　考点： 因式分解-运用公式法.

　　专题： 计算题.

　　分析： 已知第一个等式左边利用平方差公式分解，把a+b=5代入求出a﹣b的值即可.

　　解答： 解：由a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=15，a+b=5，

　　得到a﹣b=3.

　　点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

　　18.如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE.求证：MD=ME.

　　考点： 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.

　　专题： 证明题.

　　分析： 根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题.

　　解答： 证明：△ABC中，

　　∵AB=AC，

　　∴∠DBM=∠ECM，

　　∵M是BC的中点，

　　∴BM=CM，

　　在△BDM和△CEM中，

　　，

　　∴△BDM≌△CEM(SAS)，

　　∴MD=ME.

　　点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质.

　　19.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.

　　(1)求∠F的度数;

　　若CD=2，求DF的长.

　　考点： 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.

　　专题： 几何图形问题.

　　分析： (1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解;

　　易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.

　　解答： 解：(1)∵△ABC是等边三角形，

　　∴∠B=60°，

　　∵DE∥AB，

　　∴∠EDC=∠B=60°，

　　∵EF⊥DE，

　　∴∠DEF=90°，

　　∴∠F=90°﹣∠EDC=30°;

　　∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，

　　∴△EDC是等边三角形.

　　∴ED=DC=2，

　　∵∠DEF=90°，∠F=30°，

　　∴DF=2DE=4.

　　点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半.

　　20.如图已知，CE⊥AB，BF⊥AC，BF交CE于点D，且BD=CD.

　　(1)求证：点D在∠BAC的平分线上;

　　若将条件“BD=CD”与结论“点D在∠BAC的平分线上”互换，成立吗?试说明理由.

　　考点： 全等三角形的判定与性质.

　　分析： (1)根据AAS推出△DEB≌△DFC，根据全等三角形的性质求出DE=DF，根据角平分线性质得出即可;

　　根据角平分线性质求出DE=DF，根据ASA推出△DEB≌△DFC，根据全等三角形的性质得出即可.

　　解答： (1)证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，

　　∴∠DEB=∠DFC=90°，

　　在△DEB和△DFC中，

　　，

　　∴△DEB∽△DFC(AAS)，

　　∴DE=DF，

　　∵CE⊥AB，BF⊥AC，

　　∴点D在∠BAC的平分线上;

　　解：成立，

　　理由是：∵点D在∠BAC的平分线上，CE⊥AB，BF⊥AC，

　　∴DE=DF，

　　在△DEB和△DFC中，

　　，

　　∴△DEB≌△DFC(ASA)，

　　∴BD=CD.

　　点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的`应用，解此题的关键是推出△DEB≌△DFC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之亦然.

　　21.设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，60≤x≤75为C级，x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

　　(1)在这次调查中，一共抽取了　50　名学生，α=　24　%;

　　补全条形统计图;

　　(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为　72　度;

　　(4)若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名?

　　考点： 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.

　　专题： 图表型.

　　分析： (1)根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出a;

　　用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图;

　　(3)用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数;

　　(4)用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数.

　　解答： 解：(1)在这次调查中，一共抽取的学生数是： =50(人)，

　　a= ×100%=24%;

　　故答案为：50，24;

　　等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4=10(人)，

　　补图如下：

　　(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为 ×360°=72°;

　　故答案为：72;

　　(4)根据题意得：2000× =160(人)，

　　答：该校D级学生有160人.

　　点评： 此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

　　22.某号台风的中心位于O地，台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A在O地正西方向与O地相距320千米处，试问A市是否会遭受此台风的影响?若受影响，将有多少小时?

　　考点： 二次根式的应用;勾股定理.

　　分析： A市是否受影响，就要看台风中心与A市距离的最小值，过A点作ON的垂线，垂足为H，AH即为最小值，与半径240千米比较，可判断是否受影响;计算受影响的时间，以A为圆心，240千米为半径画弧交直线OH于M、N，则AM=AN=240千米，从点M到点N为受影响的阶段，根据勾股定理求MH，根据MN=2MH计算路程，利用：时间=路程&pide;速度，求受影响的时间.

　　解答： 解：如图，OA=320，∠AON=45°，

　　过A点作ON的垂线，垂足为H，以A为圆心，240为半径画弧交直线OH于M、N，

　　在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160 <240，故A市会受影响，

　　在Rt△AHM中，MH= = =80

　　∴MN=160，受影响的时间为：160&pide;25=6.4小时.

　　答：A市受影响，受影响时间为6.4小时.

　　点评： 本题考查了二次根式在解决实际问题中的运用，根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理计算，是解题的关键.

　　23.感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)

　　拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△C AF.

　　应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为　6　.

　　考点： 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;正方形的性质.

　　专题： 压轴题.

　　分析： 拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，进而利用AAS证明△ABE≌△CAF;

　　应用：首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，得出△ABD与△ADC面积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可.

　　解答： 拓展：

　　证明：∵∠1=∠2，

　　∴∠BEA=∠AFC，

　　∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，

　　∴∠BAC=∠ABE+∠3，

　　∴∠4=∠ABE，

　　∴ ，

　　∴△ABE≌△CAF(AAS).

　　应用：

　　解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，

　　∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，

　　∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，

　　∵△ABC的面积为9，

　　∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6;

　　∵∠1=∠2，

　　∴∠BEA=∠AFC，

　　∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，

　　∴∠BAC=∠ABE+∠3，

　　∴∠4=∠ABE，

　　∴ ，

　　∴△ABE≌△CAF(AAS)，

　　∴△ABE与△CAF面积相等，

　　∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，

　　∴△ABE与△CDF的面积之和为6，

　　故答案为：6.

　　点评： 此题主要考查了三角形全等的判定与性质以及三角形面积求法，根据已知得出∠4=∠ABE，以及△ABD与△ADC面积比为：1：2是解题关键.