高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结

  时光飞逝,伴随着比较紧凑又略显紧张的工作节奏,我们的工作又将告一段落了,这段时间里,一定有很多值得分享的经验吧,该好好写一份小结把这些都记录下来了。我们该怎么去写小结呢?下面是小编为大家收集的高中数学函数对称性和周期性小结,欢迎大家分享。

  一、函数对称性:

  1.2.3.4.5.6.7.8.

  f(a+x)=f(a-x)==>f(x)关于x=a对称

  f(a+x)=f(b-x)==>f(x)关于x=(a+b)/2对称f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)关于点(a,0)对称f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)关于点(a,b)对称

  f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)关于点[(a+b)/2,c/2]对称y=f(x)与y=f(-x)关于x=0对称y=f(x)与y=-f(x)关于y=0对称y=f(x)与y=-f(-x)关于点(0,0)对称

  例1:证明函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x=(b-a)/2对称。

  求两个不同函数的对称轴,用设点和对称原理作解。

  证明:假设任意一点P(m,n)在函数y=f(a+x)上,令关于x=t的对称点Q(2tm,n),那么n=f(a+m)=f[b(2tm)]

  ∴b2t=a,==>t=(b-a)/2,即证得对称轴为x=(b-a)/2.

  例2:证明函数y=f(a-x)与y=f(xb)关于x=(a+b)/2对称。

  证明:假设任意一点P(m,n)在函数y=f(a-x)上,令关于x=t的对称点Q(2tm,n),那么n=f(a-m)=f[(2tm)b]

  ∴2t-b=a,==>t=(a+b)/2,即证得对称轴为x=(a+b)/2.

  二、函数的周期性

  令a,b均不为零,若:

  1、函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a|

  2、函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a|

  3、函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a|

  4、函数y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函数最小正周期T=|2a|

  5、函数y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1f(x)]==>函数最小正周期T=|4a|

  这里只对第2~5点进行解析。

  第2点解析:

  令X=x+a,f[a+(xa)]=f[b+(xa)]∴f(x)=f(x+ba)==>T=ba

  第3点解析:同理,f(x+a)=-f(x+2a)……

  ①f(x)=-f(x+a)……

  ②∴由①和②解得f(x)=f(x+2a)∴函数最小正周期T=|2a|

  第4点解析:

  f(x+2a)=1/f(x+a)==>f(x+a)=1/f(x+2a)

  又∵f(x+a)=1/f(x)∴f(x)=f(x+2a)

  ∴函数最小正周期T=|2a|

  第5点解析:

  ∵f(x+a)={2[1f(x)]}/[1f(x)]=2/[1f(x)]1

  ∴1f(x)=2/[f(x)+1]移项得f(x)=12/[f(x+a)+1]

  那么f(x-a)=12/[f(x)+1],等式右边通分得f(x-a)=[f(x)1]/[1+f(x)]∴1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[f(x)1],即-1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]∴-1/[f(x-a)=f(x+a),-1/[f(x2a)=f(x)==>-1/f(x)=f(x-2a)①,又∵-1/f(x)=f(x+2a)②,

  由①②得f(x+2a)=f(x-2a)==>f(x)=f(x+4a)

  ∴函数最小正周期T=|4a|

  扩展阅读:函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结

  函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

  (一)同一函数的函数的奇偶性与对称性:(奇偶性是一种特殊的对称性)

  1、奇偶性:

  (1)奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f(x)f(x)0

  (2)偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式f(x)f(x)

  2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性

  (1)函数的轴对称:

  函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)

  f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax)或f(x)f(2ax)

  若写成:f(ax)f(bx),则函数yf(x)关于直线x称

  (ax)(bx)ab对22证明:设点(x1,y1)在yf(x)上,通过f(x)f(2ax)可知,y1f(x1)f(2ax1),

  即点(2ax1,y1)也在yf(x)上,而点(x1,y1)与点(2ax1,y1)关于x=a对称。得证。

  说明:关于xa对称要求横坐标之和为2a,纵坐标相等。

  ∵(ax1,y1)与(ax1,y1)关于xa对称,∴函数yf(x)关于xa对称

  f(ax)f(ax)

  ∵(x1,y1)与(2ax1,y1)关于xa对称,∴函数yf(x)关于xa对称

  f(x)f(2ax)

  ∵(x1,y1)与(2ax1,y1)关于xa对称,∴函数yf(x)关于xa对称

  f(x)f(2ax)

  (2)函数的点对称:

  函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b

  上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b或f(2ax)f(x)2b

  若写成:f(ax)f(bx)c,函数yf(x)关于点(abc,)对称2证明:设点(x1,y1)在yf(x)上,即y1f(x1),通过f(2ax)f(x)2b可知,f(2ax1)f(x1)2b,所以f(2ax1)2bf(x1)2by1,所以点(2ax1,2by1)也在yf(x)上,而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。

  说明:关于点(a,b)对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如(ax)与(ax)之和为2a。

  (3)函数yf(x)关于点yb对称:假设函数关于yb对称,即关于任一个x值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于yb对称,比如圆c(x,y)x2y240它会关于y=0对称。

  (4)复合函数的奇偶性的性质定理:

  性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]。复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]。

  性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);复合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)。

  性质3、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则y=f(x)关于直线x=a轴对称。复合函数y=f(x+a)为奇函数,则y=f(x)关于点(a,0)中心对称。

  总结:x的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程

  总结:x的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心。

  总结:x的系数同为为1,具有周期性。

  (二)两个函数的图象对称性

  1、yf(x)与yf(x)关于X轴对称。

  证明:设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1),所以yf(x)经过点(x1,y1)

  ∵(x1,y1)与(x1,y1)关于X轴对称,∴y1f(x1)与yf(x)关于X轴对称.注:换种说法:yf(x)与yg(x)f(x)若满足f(x)g(x),即它们关于y0对称。

  拓展:高中数学函数知识点

  高一数学上学期知识点:幂函数

  定义:

  形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

  定义域和值域:

  当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域

  性质:

  对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

  首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

  排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;

  排除了为0这种可能,即对于x<0 x="">0的所有实数,q不能是偶数;