高一数学试题与解析

　　一、选择题

　　1.(2009湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为

　　( )

　　A.x-y-3=0 B.x+y+3=0

　　C.x+y-3=0 D.x-y+3=0

　　答案：C

　　解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.

　　2.(2009重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )

　　A.30° B.60° C.120° D.150°

　　答案：A

　　解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.

　　3.(2009东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )

　　A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0

　　C.x-2y+4=0 D.x+y-5=0

　　答案：D

　　解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.

　　4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )

　　A.-32 B.32 C.3 D.-3

　　答案：A

　　解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，

　　即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，

　　即在x轴上的截距为-32.

　　5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )

　　A.3 B.0 C.-1 D.0或-1

　　答案：D

　　解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.

　　6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是

　　( )

　　A.-32≤m≤2 B.-32

　　C.-32≤m<2 D.-32

　　答案：B

　　解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0-32

　　7.(2009福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )

　　A.-5 B.1 C.2 D.3

　　答案：D

　　解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.

　　∵其面积为2，∴|AC|=4，

　　∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，

　　得a=3.故选D.

　　8.(2009陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为

　　( )

　　A.3 B.2 C.6 D.23

　　答案：D

　　解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.

　　由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.

　　9.(2009西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的.方程是 ( )

　　A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=4

　　C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)=4

　　答案：C

　　解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.

　　10.(2009安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )

　　A.2 B.-2C.2或-2 D.6或-6

　　答案：C

　　解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.

　　11.(2009河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )

　　A.点在圆上 B.点在圆内C.点在圆外 D.不能确定

　　答案：C

　　解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.

　　12.(2010保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )

　　A.π6 B.π2C.arccos79 D.arcsin229

　　答案：C

　　解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.

　　二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)

　　13.(2010湖南长沙一中)已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：ax-y+3a=0.若l1⊥l2，则a=________.

　　答案：±1

　　解析：∵l1⊥l2，∴kl1kl2=-1，即(-a)a=-1，∴a=±1.

　　14.点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y<4表示的平面区域内，则P点的坐标为__________.

　　答案：(-3,3)

　　解析：因|4a-9+1|5=4，∴a=7，a=-3.

　　当a=7时，不满足2x+y<4(舍去)，∴a=-3.

　　15.(2009朝阳4月，12)已知动直线l平分圆C：(x-2)2+(y-1)2=1，则直线l与圆：x=3cosθ，y=3sinθ，(θ为参数)的位置关系是________.

　　答案：相交

　　解析：动直线l平分圆C：(x-2)2+(y-1)2=1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O：x=3cosθ，y=3sinθ，即x2+y2=9，且22+12<9，(2,1)在圆O内，则直线l与圆O：

　　x=3cosθ，y=3sinθ，(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交.

　　16.(2009山东济南一模)若直线y=kx-2与圆x2+y2=2相交于P、Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，k的值为________.

　　答案：±3

　　解析：由图可知，点P的坐标为(0，-2)，

　　∠OPQ=30°，∴直线y=kx-2的倾斜角为60°或120°，∴k=±3.

　　三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)

　　17.(本小题满分10分)求经过7x+8y=38及3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程.

　　解析：易得交点坐标为(2,3)

　　设所求直线为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0，

　　即(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0，

　　令x=0，y=388-2λ，

　　令y=0，x=387+3λ，

　　由已知，388-2λ=387+3λ，

　　∴λ=15，即所求直线方程为x+y-5=0.

　　又直线方程不含直线3x-2y=0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x-2y=0亦为所求.

　　18.(本小题满分12分)已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1;x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程.

　　分析一：如图，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标(用k表示)，再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程.

　　解析：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，-4)或B′(3，-9)，截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意.

　　若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.

　　解方程组y=k(x-3)+1，x+y+1=0，得

　　A(3k-2k+1，-4k-1k+1).

　　解方程组y=k(x-3)+1，x+y+6=0，得

　　B(3k-7k+1，-9k-1k+1).

　　由|AB|=5.

　　得(3k-2k+1-3k-7k+1)2+(-4k-1k+1+9k-1k+1)2=52.

　　解之，得k=0，直线方程为y=1.

　　综上可知，所求l的方程为x=3或y=1.

　　分析二：用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解.

　　解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d=|1-6|2=522，且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5，设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ=5225=22，故θ=45°.

　　由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为：

　　x=3或y=1.

　　分析三：设直线l1、l2与l分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则通过求出y1-y2，x1-x2的值确定直线l的斜率(或倾斜角)，从而求得直线l的方程.

　　解法三：设直线l与l1、l2分别相交A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0.

　　两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5. ①

　　又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25. ②

　　联立①、②可得

　　x1-x2=5，y1-y2=0，或x1-x2=0，y1-y2=5.

　　由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.

　　故所求的直线方程为x=3或y=1.

　　19.(本小题满分12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆的方程.

　　解析：设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r，

　　∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，

　　∴圆心(a，b)在直线x+2y=0上，

　　∴a+2b=0， ①

　　(2-a)2+(3-b)2=r2. ②

　　又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为22，

　　∴r2-(a-b+12)2=(2)2 ③

　　解由方程①、②、③组成的方程组得：

　　b=-3，a=6，r2=52.或b=-7，a=14，r2=244，

　　∴所求圆的方程为

　　(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.