什么是“问题解决”

——“问题解决与数学教育”之一
“问题解决”（problem solving）作为美国数学教育界在80 年代的主要口号，现在已经是一个不太陌生 的名词了。但是，究竟什么是“问题解决”的真正意义？这仍然是一个值得深思的问题。例如，以下是几种常 见的观念：
1.“问题解决”就是指把实际问题引入到数学教学之中，或者说，应当使数学问题具有明显的现实意义；
2.“问题解决”就是对于各种解题技巧的强调；
3.“问题解决”就是指让学生独立地去解决问题。
显然，这些理解并不完全相同，甚至是互相对立的，而且，这些不同的理解又是如此之多，以致一个美国 数学教育家开玩笑地说，如果问数学教育工作者“什么是‘问题解决’？”7个被提问者将会提供9个不同的解 答。这种情况的出现是无足为奇的，但是，这种现象，显然就清楚地表明了对于“问题解决”的真正意义进行 澄清的必要性和紧迫性。
为了对“问题解决”的真正意义作出分析，我们先来对什么是“问题解决”中所说的“问题”作出说明， 这就涉及到了（数学）问题的分类。
具体地说，由于着眼点的不同，对于数学问题可以作出不同的分类，如按问题是否具有真实意义进行分类 ，或是按问题的求解是否需要一定的创造性进行分类。由于传统的数学教育严重地脱离实际，因此，作为一种 改革，我们就应在数学教学中尽可能地引入更多的具有真实意义的问题，而这对于提高学生应用数学知识的能 力和增强学生学习数学的积极性都是十分重要的；但是，应当强调的是，我们又不应当把“问题解决”中所说 的“问题”唯一地等同于实际问题。特别是那些“非常规性的问题”（non-routine problem），是需要一定的 创造性才能求解。
事实上，如果过分地强调（数学）问题的'真实意义，我们就会由一个极端走向另一个极端，并取得适得其 反的效果。如，以下是美国数学课本（九年级）中所给出的一个问题：
一个农民在送鸡蛋去市场的路上发生了车祸，尽管她本人没有受伤，但所有的鸡蛋却都破损了。由于她事 先参加了保险，因此就前往保险公司索赔，后者要求她说出损失鸡蛋的数目，她说她不知道准确的数字，而只 记得以下的事实：当她把鸡蛋装进小盒时，如果成双地装则剩下一个；如果三个三个地装也剩下一个，四个、 五个、六个地装也是同样的情况；而当她七个七个地装时则正好装完。问：（1）她有多少个鸡蛋？（2）这一 问题是否只有一个答案？
笔者认为，在此，我们可以清楚地看到由于过分强调“联系实际”所造成的勉强做作，而我们教学中如果 不注意纠正的话，则就必然会取得适得其反的结果，非但不能真正调动学生学习数学的积极性，反而会使他们 感到数学是无意义和毫无用处的。
其次，应当指出的是，尽管问题的选择构成了“问题解决”的重要一环，但又并非是唯一的环节。例如， 在选择出了“适当”的问题以后，还存在这样的问题，我们应当如何去实行“问题解决”的教学？我们又应通 过“问题解决”的教学达到什么样的目的？
事实上，问题的提出与解决从来就是数学教学的一个重要组成部分，但这可能被用作数学知识教学的一种 手段，即，如何通过问题来引入有关的教学内容、并通过问题解决来达到复习、巩固和检查的目的（从更广义 的角度说，我们还可通过“问题解决”来调动学生学习数学的积极性，体现学习数学的重要性，并使学生感受 到科学研究的乐趣）；也可能被认为是一种技能，希望通过大量的解题，使学生掌握各种具体的解题方法和技 巧，显然，这就是所谓的“题海战术”。那么，究竟什么是现在所说的“问题解决”的真正意义呢？
具体地说，与上述的两种理解不同，“问题解决”应当被看成是一种创造性的活动，是如何综合地、创造 性地应用所学知识和方法去解决非常规性的问题。显然，在这样的理解下，“问题解决”的核心就并非是各种 特殊的解题方法或技巧，而是一些十分一般的思想方法或思维模式（为了对这两者作出明确的区分，在现代的 研究中人们有时就把后者称为是“高层次的思维方法”。）另外，与对于数学知识的强调相比，“以问题解决 作为学校数学教育的中心”则就更为清楚地体现了数学教育思想的根本性转变，即是，认为应把帮助学生学会 “数学地思维”，从而提高解决问题的能力作为数学教育的主要目标。
显然，正是以上的基本指导思想决定了问题的选择标准：我们应当集中于所说的“非常规性问题”，另外 ，这一基本指导思想显然也就表明了在“问题解决”的教学中我们不能对学生采取“完全放任”的态度，特别 是不能以问题的解决作为教学的最终目标。事实上，这也正是初学者（或者说，“不好的解题者”）与数学家 （“好的解题者”）在思维方法上的一个重要区别：前者往往满足于用某种方法（包括观察、实验和猜测）， 求得具体的解答而不去进一步追究相应的解释，也不去思考是否存在有不同的解法，以及是否可能对所获得的 结果作出进一步的推广；与此相反，数学家们并不停止于某个具体问题的解决，而是致力于进一步的思考：在 这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构？等等 。从而，为了帮助学生学会“数学地思维”，在“问题解决”的教学中教师也就应当发挥重要的作用，而不能 将此片面地理解为“让学生独立地去解决问题”。
一般地说，教育思想的转变决定了“问题解决”的教学应当采取与传统的数学教学不相同的一种新模式。 例如，以下即是一种可能的新模式。
第一，在学生以个人或小组为单位具体地从事解题活动前，应组织全班性的讨论，以促使学生“弄清问题 ”，在这一阶段教师的主要工作有：
自己或请一位学生朗读问题，弄清其中的词汇的意义。
组织学生进行讨论以弄清问题。这主要是：什么是已知的，什么是所要求的。应当注意的是，这时不要提 出太多的问题，以免使学生感到不再有必要自己去对问题进行理解。
组织学生讨论可能的解题方法，注意这时不要对学生的建议作出评价。
第二，在学生具体地从事解题活动时，教师应在教室中巡回，并采取以下的行动：
观察学生的解题行为，并请学生对自己的工作进行说

明。
如果学生陷入困境，在如何选择和实施解题策略方面给以一定的启发，必要时，应适当重复先前阶段中曾 用以弄清题意的问题。
如果学生获得了某种解答，要求学生对此进行检验。
对问题作出推广，以使较早完成者（在时间许可的情况下，则是整个班级）继续工作。
第三，在学生的解题活动结束以后（指已经获得了解答、并对此进行了检验），再次组织全班进行讨论：
对学生所采用的解题方法进行讨论，特别是不同方法之间进行比较，让学生对自己所采用的方法进行“命 名”。
对刚才所解决的问题与现前曾求解的类似问题进行比较，对问题的推广进行讨论。
对问题的一些特殊的方面进行讨论，诸如不寻常的数据、容易产生“错误”的地方、“关键词”等。
综上可见，“问题解决”这一口号的提出包含了教育思想乃至教学形式的根本性变化，从而这就是数学教 育中的一次重要的改革运动。