摘要：相容性是概率统计学描述事件间相互关系的基本概念，正确理解相容性是解决概率统计问题的关键之一。本文从随机事件相容性的概念入手，讨论了它与事件的互逆、独立性和零概率事件间的关系，并结合实例阐明随机事件相容性的应用。

关键词：随机事件 相容性 互逆 独立性 零概率事件

为了探讨复杂随机现象的统计规律性，我们需要研究随机事件间的关系。而随机事件间的关系中，事件的互不相容是最基本、最重要的概念之一。正确理解其意义并把握它与事件的互逆、独立性、零概率事件间的关系，对于解决概率问题无疑是有帮助的。因此有必要对随机事件相容性的若干问题进行探讨。

1 事件相容性的概念

若事件A与事件B不能同时发生，即事件A的出现必然导致事件B不出现，事件B的出现必然导致事件A不出现，则称A与B互不相容（或互斥）。显然，同一试验中的各个基本事件是互不相容的；互不相容事件的积事件为不可能事件。例1.抛一枚硬币，“出现正面”与“出现反面”这两个事件就是互不相容的事件。例2.掷一颗骰子，“出现点数为1”与“出现点数为5”这两个事件也是互不相容的事件。

2 两事件互不相容（或互斥）与互逆的关系

2.1 两事件互逆（或对立事件） 若事件A与事件B至少有一个发生，但又不能同时发生，则称事件A与事件B是互逆事件（或对立事件）。

显然，若事件A、B互逆，则A+B=Ω，AB=Φ；反之也成立。

如上面例1中，“出现正面”与“出现反面”这两个事件就是互逆事件；但例2中“出现点数为1”与“出现点数为5”这两个事件不是互逆事件。

2.2 两事件互不相容（或互斥）与互逆的关系 若两事件互逆，则两事件一定互不相容（或互斥）；反之不成立。

如上面例1中，“出现正面”与“出现反面”这两个互逆事件也是互斥事件；例2中“出现点数为1”与“出现点数为5”这两个互斥事件不是互逆事件。

3 两事件互不相容与相互独立的关系

3.1 两事件相互独立 对于事件A与B，若P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B相互独立。

当P（A）>0，P（B）>0时，下列结论是等价的：

事件A与事件B相互独立；

P（AB）=P（A）P（B）；

P（B）=P（BA）；

P（A）=P（AB）。

3.2 两事件互不相容与相互独立的关系

事件A、B相互独立是指A事件发生的概率与事件B的发生与否没有关系，并不是事件A、B没有关系。相反地，若事件A、B相互独立，则事件A、B是相容的。

事件A、B互不相容是指事件A发生必然导致事件B不发生，并没有说A事件发生的概率与事件B的发生与否没有关系。由概率关系推不出事件间的关系。

一般来说，两事件A、B互不相容与两事件A、B相互独立二者之间没有必然联系。

例3.图1与图2分别表示两事件独立但不互不相容与两事件互不相容但不独立。

立的。图2表示两事件互不相容但不相互独立。

4 互不相容事件与零概率事件的关系

4.1 零概率事件 我们称概率为零的事件为零概率事件。不可能事件是零概率事件，但零概率事件不全是不可能事件。

4.2 互不相容事件与零概率事件的关系 互不相容事件与零概率事件的关系是：若事件A、B互不相容，则事件AB是零概率事件，反之不成立。

证明：若事件A、B互不相容，则事件AB=Φ，于是P（AB）=0，即事件AB是零概率事件。反之不成立，请看反例：设随机变量X～U（0，1），事件A={0.1？燮X？燮0.2}，事件B={0.2？燮X？燮0.3}，则P（A）=P（B）=0.1>0，AB={X=0.2}，P（AB）=0；即若P（AB）=0，推不出事件A、B互不相容。

5 有关随机事件相容性的应用举例

从上面的分析可以知道，对于随机事件的相容性及其相关概念，只有准确理解并从本质上把握好这些概念之间的相互关系，才能应用自如。再举例如下：

例4.设事件A与事件B1、B2独立，且事件B1、B2互斥，证明事件A与事件B1+B2独立。

证明：因为A与B1、B2独立，

所以P（AB1）=P（A）P（B1），P（AB2）=P（A）P（B2）；

又因为B1、B2互斥且AB1？奂B1、AB2？奂B2，

所以P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）且AB1、AB2也互斥；

于是P（A（B1+B2））=P（AB1+AB2）=P（AB1）+P（AB2）

=P（A）P（B1）+P（A）P（B2）=P（A）（P（B1）+P（B2））

=P（A）（P（B1+B2））

即P（A（B1+B2））=P（A）（P（B1+B2））

故事件A与事件B1+B2独立。

该题的求解须准确理解事件的互斥性、事件独立性的概念及正确使用两事件互斥时的加法公式。

例5.若事件A、B相互独立，且A？奂B，则事件A是零概率事件。

证明：因为A？奂B，所以AB=A，P（AB）=P（A）；又因为事件A、B相互独立，所以P（AB）=P（A）P（B）；于是P（A）=P（A）P（B），所以P（A）=0，即事件A是零概率事件。

该题的求解须准确理解事件的独立性、零概率事件的概念。

例6.对事件A、B，若P（AB），则

（A）事件A、B互不相容 （B）事件AB是不可能事件

（C）P（A）=0或者P（B）=0 （D）事件AB不一定是不可能事件

解：正确答案为D。

注解：由例5可知，选项A不成立；再由互不相容事件与零概率事件的关系得，选项B、C也不成立。

（A）事件A、B互逆 （B）事件A、B相互独立

（C）事件A、B互不相容 （D）事件A、B不相互独立

解：正确答案为B。

例8.对某校一年级学生上下两学期成绩的统计调查

中发现：上下两学期成绩均优的学生占被调查学生总数的5%，仅上学期成绩得优的学生占被调查学生总数的10%，求上学期成绩得优的概率？

解：设A={上学期成绩得优}，B={下学期成绩得优}，由题意得P（AB）=0.05，P（AB）=0.1，

又由A=AΩ=A（B+B）=AB+AB且AB、AB互斥，得

P（A）=P（AB）+P（AB）=0.05+0.1=0.15；

即上学期成绩得优的概率为15%。

该题的求解须准确理解事件的互斥性并正确使用两事件互斥时的加法公式。

总之，只有准确理解随机事件相容性的概念及其相互关系，才能正确解决好概率统计问题。

参考文献：

[1]戢伟.随机事件独立性概念的引入[J].科教文汇（下旬刊），2023.05.

[2]刘明忠，黄长琴.大学应用数学[M].中国经济出版社，2023.09.

[3]龙永红.概率论与数理统计中的典型例题分析与习题[M].高等教育出版社，2004.07.