证明公理3的推论3
公理3的内容是:经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面 。
公理3的推论3是:两条平行的直线确定一个平面 。
所有的推论是由相应的公理证明的 。
证明:
设两直线l和m互相平行,取l上两个点A和B,取m上两个点C和D,
显然任意三点都不共线,否则l和m将会相交,与两直线平行矛盾,
根据公理3,知道
过A、C、D有且只有一个平面,设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面 ,设为平面β;
假设两平面α和β不重合,则B在α外,
在同一平面内,永不相交的两条直线叫平行线,
所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条,不妨设为AE,
此时,AB和AE都与CD平行,
与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条"矛盾,
所以D也在α内,此时α和β重合,
即α和β是同一个平面,
即两条平行的直线确定一个平面。
2
公理3的内容是:经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面 。
公理3的推论3是:两条平行的直线确定一个平面 。
所有的推论是由相应的公理证明的 。
证明:
设两直线l和m互相平行,取l上两个点A和B,取m上两个点C和D,
显然任意三点都不共线,否则l和m将会相交,与两直线平行矛盾,
根据公理3,知道
过A、C、D有且只有一个平面,设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面 ,设为平面β;
假设两平面α和β不重合,则B在α外,
在同一平面内,永不相交的两条直线叫平行线,
所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条,不妨设为AE,
此时,AB和AE都与CD平行,
与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条"矛盾,
所以D也在α内,此时α和β重合,
即α和β是同一个平面,
即两条平行的直线确定一个平面。
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两点定一条直线
三点(不直线)定一个平面
两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点
另一条中找随便一个点,这个点在第一条直线外
所以不在一直线上的三个点可确定一个平面
4
存在性:
在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。
唯一性:
不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。
综上所述,两条相交的直线确定一个平面 。
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