数学中的哲学观之探微论文

　　[摘要]本文从数学运算的对立统一、不同的数学知识之间的相互联系、数学理论发展过程的量变到质变、数学中的否定之否定规律等，论述了数学中充满着辩证法。

　　[关键词]数学 辩证法 对立统一 矛盾 相互联系

　　世界是客观的、物质的世界，遵循运动、变化、发展的规律。唯物辨证法是指世界是客观的、物质世界是普遍联系和永恒发展的。数学中充满着辩证法，古今数学家都把自然辩证法的思想作为研究数学的指导思想，从而取得了一个个成果。依据辩证唯物主义观点来研究数学是一件有意义的工作。

　　一、数学运算的对立统一

　　数学中加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数运算、三角与反三角运算、微分与积分运算等等，它们都是互逆的运算。互逆的运算是对立的双方，是现实世界中正与逆的矛盾在数学中的具体反映，它们互相依存，不可分割。在一定条件下相互转化。数学运算正与逆的存在与统一，是解决数学问题的有力杠杆，因而对一个给定的运算是否存在逆运算，它是怎样形成的，始终是数学研究的`中心课题。

　　数学运算有高底之分，一般地，我们将加与减、乘与除、乘方与开方分别称为第一、二和三级运算。这里较高一级的运算与较低一级运算之间有一定联系，且能相互转化。例如，乘法是加数相同情况下的加法，乘方是因数相同情况下的乘法，多元函数的导数归结为求一元函数的导数，多元函数的积分归结为函数的微分，并且由“牛顿—莱布尼兹公式”，将一元函数的微分与积分联系起来。

　　二、数学中充满着矛盾

　　常量与变量是数学中两个非常重要的概念，常量是反映事物相对静止状态的量，变量是反映事物运动变化状态的量，它们是有区别的。但它们又具有相对性、依存性，在一定条件下可以相互转化，因此又是统一的。

　　现实世界中的有限与无限，反映到数学中来成了量的有限与无限。数学中人们常常通过有限来认识无限。无限一方面可以作为有限的总和而存在，作为一切有限的对立物而存在；另一方面又可作为描述量的变化过程而存在。有限与无限有着质的差异。例如，一个有限集和它的任何真子集之间都不能建立一一对应关系。但在无限集中，就不完全是这样。比如，自然数集可以和它的真子集建立一一对应关系，一个有限的数集必有最大数与最小数，但是无限数集就不一定是这样。再如，对于数的有限和满足交换律与结合律，但在无限和式中就不能任意运用这些定律，否则将导致谬误的结果。

　　直与曲是两种不同的形象，从几何角度说，前者曲率是零，后者曲率非零。从代数角度说，前者是线性方程，后者是非线性方程，因而直与曲的区别是极为明显的。恩格斯说：“几何学开始于下列的发展，直线与曲线是绝对的对立，直线完全不能用曲线表现，曲线也不能完全用直线来表现，两者是不能通约的，但是连圆的计算也只有用直线来表现它的圆周时才有可能，而在具有渐近线的曲线的情况下，直线完全化为曲线，曲线完全化为直线，平行的概念也同样趋于消失，两条线并不是平行的，它们不断地相互接近，但永远不相交。”这就是在一定条件下，直与曲可以相互转化的辩证思想。

　　三、数学理论发展过程的量变到质变

　　量变质变规律指出了量变、质变是事物运动变化的两种最基本状态，事物的发展变化都表现为由量变到质变，再由质变引起新的量变的反复过程。数学理论中体现着量变质变规律。一方面，数学中每种概念的存在都有着特定的量的界限，如果量变超出了这个界限，就会发生质变，形成另一种概念，这种新概念又存在着自己特有的新的量变。例如，正多边形边数的变化范围是“大于或等于3的有限数”，如果边数的变化超出上述范围就不再是正多边形，变为线段或圆。（边数小于3时为线段；边数超出有限数范围，即趋于无穷时为圆。）不论线段还是圆，都有自己新的量变。另一方面，数学理论的形成过程是从量变到质变、从近似到精确的过程。比如为了求曲边梯形的面积，先将该曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，如果分割足够密，这些小曲边梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面积的方法求出各个小曲边梯形面积的近似值，其和就是原曲边梯形面积的近似值。因为所求的仅为近似值，所以上述过程是量变的过程，没有发生质的飞跃。如果分割无限加密，即各个小曲边梯形的最大宽度趋于零时，就得到原曲边梯形的精确面积，发生了从量变到质变的飞跃，这正是定积分理论的基本思想。

　　四、数学理论的发展过程中体现着否定之否定规律

　　否定之否定规律揭示了事物自己发展自己的完整过程是：经历两次否定、三个阶段，即由肯定达到对自身的否定，并再由否定进到新的肯定——否定之否定。每一个数学理论的发展都符合否定之否定规律。在理论最初形成时，该理论得到肯定；随着实践的需要和研究的深入，该理论的不完善、不精确之处逐渐暴露出来并被否定；进而数学家们开始研究如何使该理论更完善、更精确，最终得出新的结论，达到新的肯定。此外，数学的运算结果也体现着否定之否定规律，例如，正数取两次相反数（两次否定）仍是正数；命题逻辑中，一个命题的两次否定仍是原命题等。

　　总之，数学内部处处蕴涵着哲学思想，数学家在哲学的沧桑巨变中不断成熟，哲学观点在数学成果的推动下不断进步。

　　参考文献：

　　[1]章士藻。中学数学教育学。江苏教育出版社，1991 .