高一数学关于周期函数的定义域性质

高一数学关于周期函数的定义域性质

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  提出问题:f(x)=sinx (x>0)是周期函数吗?;周期函数定义域是R吗?若T是f(x)的周期,那么kT(k属于Z)必是f(x)的周期吗?

  首先明确:一、有限区间、无限区间;二、非空数集的有界、无界与确界;三、再解疑周期函数的定义域与周期;四、教师参考.探讨如下

  一、有限区间、无限区间:

  1.有限区间

  :

  = 开区间

  ;

  = 闭区间

  ;

  半开(半闭)区间.

  2.无限区间

  :

  ;二、非空数集的有界、无界与确界

  1.上界、上确界: 设A为R中的一个非空数集.若存在实数M,使得对一切xA,都有xM, 则称M为数集A的上界。所有上界中最小的一个叫数集= ;

  ;. ;A的上确界。

  2.下界、下确界: 设A为R中的一个非空数集.若存在实数M,使得对一切xA,都有xM, 则称M为数集A的下界。所有下界中最大的一个叫数集A的下确界。

  3. 非空数集有界:设A为R中的一个非空数集,若数集A“有上界且有下界”, 则称数集A有界。如

  有限区间类:a,b;a,b;a,b;a,b。

  间断类型:1,25;1,24,5, 6

  4. 非空数集无界:设A为R中的`一个非空数集,若数集A“无上界或无下界”, 则称数集A无界。(A无界含有三种情况:无上界;无下界;无上界且无下界。)如

  无限区间类: ,a;,a;a,;a,;,

  间断类型:,24,5;1,25,;xxk,kN; 2xxk,kZ 2

  注意:函数的定义域是非空数集应分有界与无界两类。即有限区间双侧有界,间断双侧有界;无限区间单侧无界,无限区间双侧无界,间断单侧无界与间断双侧侧无界。(定义域分为有限区间与无限区间不确切)

  三、 函数的定义域与周期

  1.周期函数的定义(旧人教、新课标版一样):对于函数y=f(x),如果存在常数T≠0,使得当x取定义域内每一个值时, 都有f(x+T) = f(x),那么函数y= f(x)就叫周期函数,T就叫这个函数的周期。 若所有周期T中存在一个最小的正数,则称它为最小正周期。

  注意:①定义中“存在常数T≠0”,其意是可存在正数T,也可存在负数T,还可二者都存在,不是正负同时存在才行。

  ②定义中“x取定义域内每一个值”时,都有f(x+T) = f(x),即恒成立的意思。

  结论:⑴其实有周期函数定义和注意①②不难得出周期函数的定义域有不同的三种形式,:定义域左侧无界;定义域右侧无界;定义域双侧无界。(定义域为左侧无限区间;定义域为右侧无限区间;定义域双侧无限区间;不妥因由间断)。

  ⑵周期T有不同的三种形式形式:有正周期不一定有负周期;有负周期不一定有正周期;有正周期不一定有最小正周期。举例如下

  例1:f(x)sinx(x0) 解:周期T=2。无负周期,定义域右侧无界,有最小正周期。

  例2:f(x)sinx(x0) 解:周期T=-2。无正周期,定义域左侧无界,无最小正周期。

  例3:f(x)sinx(xR) 解:周期T=2。有正负周期,定义域双侧无界,有最小正周期。

  例4f(x)tanx(x0,xk

  右侧无界,有最小正周期。 2,kZ) 解:周期T=。无负周期,定义域

  例5: f(x)tanx(x0,xk

  2,kZ) 解:周期T=-。无正周期,定

  义域左侧无界,无最小正周期。

  例6: f(x)tanx(xk

  侧无界,有最小正周期。

  例7: f(x)C(xR) 解:任意T0都是周期。有正负周期,定义域双侧无界,无最小正周期。

  例8: f(x)Cxa,b 解:非周期函数。

  例9:f(x)=0,x为整数 解:周期T=1。有正负周期,定义域双侧无界,有最小正周期。

  例10lgsin(x) 解:周期T=2。有正负周期,定义域双侧无界,有最小正周期。 2,kZ) 解:周期T=。有正负周期,定义域双

  1(x为有理数)例11克雷Dirichlet函数f(x) 解:周期为任意T0实数。

  0(x为无理数)

  有正负周期,定义域双侧无界,无最小正周期。

  2. 周期函数性质:①T是函数f(x)的周期,则对于任意的正整数k∈N*,kT是f(x)的周期。应该把那个k∈Z改成k∈N*.

  ②若T1,T2都为函数f(x)的周期,且T1T20,则T1T2也是f(x)的周期.

  注意:T是函数f(x)的周期,则对于任意的整数k0kz,kT是f(x)的周期不正确。

  四、教师参考

  为什么对周期函数的定义域与周期理解有异议哪?其原因是中学与大学教材定义不一样。

  1. 大学周期函数的定义:对于函数y=f(x),如果存在常数T≠0,使得当x取定

  义域内每一个值时,都有f(x±T)=f(x),那么函数y= f(x)就叫周期函数,T

  就叫这个函数的周期。 若所有周期T中存在一个最小的正数,则称它为最小正周期。

  结论:⑴定义域双侧无界。

  ⑵周期T:有正周期必有负周期;有负周期必有正周期;有正周期不一定有最小正周期。

  性质:此时周期函数的性质可变为:

  (1) 若T是f(x)的周期,则-T也是f(x)的周期;

  (2) 若T是f(x)的周期,则kT也是f(x)的周期,其中k是非零整数;

  (3) 若T1、T2是f(x)的周期,则T1±T2也是f(x)的周期;

  (4) 若T是f(x)的最小正周期,则f(X)的所有周期组成的集合为{t|t=kT,k∈Z, k≠0};

  (5 若f(x)是周期函数,则f(x)的定义域一定是双侧无界的。

  2. 严格按照课本,如果课本上没有明确定义,我想像高考这种考试会避开这类问题。因为这种定义,是观察了实际中的事物或现象后,在数学上找一个可以反映这种规律的数学定义,很难说哪一种定义更符合人们的初衷,而且还可能会有一些奇怪的例子,很不符合最初的观念。

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