高一数学关于周期函数的定义域性质

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　　提出问题：f(x)=sinx (x>0)是周期函数吗?;周期函数定义域是R吗?若T是f(x)的周期，那么kT(k属于Z)必是f(x)的周期吗?

　　首先明确：一、有限区间、无限区间;二、非空数集的有界、无界与确界;三、再解疑周期函数的定义域与周期;四、教师参考.探讨如下

　　一、有限区间、无限区间：

　　1.有限区间

　　：

　　= 开区间

　　;

　　= 闭区间

　　;

　　半开(半闭)区间.

　　2.无限区间

　　：

　　;二、非空数集的有界、无界与确界

　　1.上界、上确界： 设A为R中的一个非空数集.若存在实数M，使得对一切xA，都有xM, 则称M为数集A的上界。所有上界中最小的一个叫数集= ;

　　;. ;A的上确界。

　　2.下界、下确界: 设A为R中的一个非空数集.若存在实数M，使得对一切xA，都有xM, 则称M为数集A的下界。所有下界中最大的一个叫数集A的下确界。

　　3. 非空数集有界：设A为R中的一个非空数集，若数集A“有上界且有下界”, 则称数集A有界。如

　　有限区间类：a,b;a,b;a,b;a,b。

　　间断类型：1,25;1,24,5, 6

　　4. 非空数集无界：设A为R中的`一个非空数集，若数集A“无上界或无下界”, 则称数集A无界。(A无界含有三种情况：无上界;无下界;无上界且无下界。)如

　　无限区间类: ,a;,a;a,;a,;,

　　间断类型：,24,5;1,25,;xxk,kN; 2xxk,kZ 2

　　注意：函数的定义域是非空数集应分有界与无界两类。即有限区间双侧有界，间断双侧有界;无限区间单侧无界，无限区间双侧无界，间断单侧无界与间断双侧侧无界。(定义域分为有限区间与无限区间不确切)

　　三、 函数的定义域与周期

　　1.周期函数的定义(旧人教、新课标版一样)：对于函数y=f(x)，如果存在常数T≠0，使得当x取定义域内每一个值时， 都有f(x+T) = f(x)，那么函数y= f(x)就叫周期函数，T就叫这个函数的周期。 若所有周期T中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期。

　　注意：①定义中“存在常数T≠0”,其意是可存在正数T，也可存在负数T，还可二者都存在，不是正负同时存在才行。

　　②定义中“x取定义域内每一个值”时，都有f(x+T) = f(x)，即恒成立的意思。

　　结论：⑴其实有周期函数定义和注意①②不难得出周期函数的定义域有不同的三种形式，：定义域左侧无界;定义域右侧无界;定义域双侧无界。(定义域为左侧无限区间;定义域为右侧无限区间;定义域双侧无限区间;不妥因由间断)。

　　⑵周期T有不同的三种形式形式：有正周期不一定有负周期;有负周期不一定有正周期;有正周期不一定有最小正周期。举例如下

　　例1：f(x)sinx(x0) 解：周期T=2。无负周期，定义域右侧无界，有最小正周期。

　　例2：f(x)sinx(x0) 解：周期T=-2。无正周期，定义域左侧无界，无最小正周期。

　　例3：f(x)sinx(xR) 解：周期T=2。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。

　　例4f(x)tanx(x0,xk

　　右侧无界，有最小正周期。 2,kZ) 解：周期T=。无负周期，定义域

　　例5: f(x)tanx(x0,xk

　　2,kZ) 解：周期T=-。无正周期，定

　　义域左侧无界，无最小正周期。

　　例6: f(x)tanx(xk

　　侧无界，有最小正周期。

　　例7: f(x)C(xR) 解：任意T0都是周期。有正负周期，定义域双侧无界，无最小正周期。

　　例8: f(x)Cxa,b 解：非周期函数。

　　例9:f(x)=0,x为整数 解：周期T=1。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。

　　例10lgsin(x) 解：周期T=2。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。 2,kZ) 解：周期T=。有正负周期，定义域双

　　1(x为有理数)例11克雷Dirichlet函数f(x) 解：周期为任意T0实数。

　　0(x为无理数)

　　有正负周期，定义域双侧无界，无最小正周期。

　　2. 周期函数性质：①T是函数f(x)的周期，则对于任意的正整数k∈N*，kT是f(x)的周期。应该把那个k∈Z改成k∈N*.

　　②若T1,T2都为函数f(x)的周期，且T1T20，则T1T2也是f(x)的周期.

　　注意：T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数k0kz，kT是f(x)的周期不正确。

　　四、教师参考

　　为什么对周期函数的定义域与周期理解有异议哪?其原因是中学与大学教材定义不一样。

　　1. 大学周期函数的定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T≠0，使得当x取定

　　义域内每一个值时，都有f(x±T)=f(x)，那么函数y= f(x)就叫周期函数，T

　　就叫这个函数的周期。 若所有周期T中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期。

　　结论：⑴定义域双侧无界。

　　⑵周期T：有正周期必有负周期;有负周期必有正周期;有正周期不一定有最小正周期。

　　性质：此时周期函数的性质可变为：

　　(1) 若T是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期;

　　(2) 若T是f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期，其中k是非零整数;

　　(3) 若T1、T2是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x)的周期;

　　(4) 若T是f(x)的最小正周期，则f(X)的所有周期组成的集合为{t|t=kT,k∈Z, k≠0};

　　(5 若f(x)是周期函数，则f(x)的定义域一定是双侧无界的。

　　2. 严格按照课本，如果课本上没有明确定义，我想像高考这种考试会避开这类问题。因为这种定义，是观察了实际中的事物或现象后，在数学上找一个可以反映这种规律的数学定义，很难说哪一种定义更符合人们的初衷，而且还可能会有一些奇怪的例子，很不符合最初的观念。