这是因式分解十字相乘法，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

因式分解十字相乘法第 1 篇

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字分解法能把某些二次三项式分解因式。对于形如ax²+bx+c=(a?x+c?)(a?x+c?)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a?,a?的积a?·a?，把常数项c分解成两个因数c?,c?的积c?·c?，并使a?c?+a?c?正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a?x+c?)(a?x+c?)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q)。

因式分解十字相乘法第 2 篇

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定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.

解析：十字相乘法的精髓，在于分解常数项。对于初学者来说，可以根据常数项的具体数值，尝试着分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因式的值相加等于一次项系数。上面的例题，很好的说明了十字相乘法因式分解的具体应用。

例题二：

例题三：

例题四

例题五：

练一练

因式分解十字相乘法第 3 篇

一、前言

在北师版数学教材上，并没有十字相乘法这一章，在中考中十字相乘法也不作为考点考察。但是，在初中阶段，一些一元二次方程的题目使用十字相乘法可以更快的解出答案；在高中阶段，十字相乘法可以说是随时可能用到；更重要的是，十字相乘法可以很好的培养数感。因此，熟练掌握十字相乘法是非常必要的

二、知己知彼

想要熟练的掌握十字相乘法，就一定要了解它的原理，我们先看这样几个式子：

观察这几个式子，相信大家能很快的说出下面这个式子的结果

为了更加清晰的说明十字相乘的原理：我们做如下的说眀：

小学我们都学过竖式乘法

其实刚才列举的式子也可以用竖式进行计算

从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）

搞清楚了这个原理，十字相乘法就很容易了，其实就是把上面的过程反过来，下面以一道题目为例进行具体的说明

例1：因式分解

我们心里清楚，最后的结果一定是下面这种形式

问题的关键就是求出a和b

而通过刚才的例子，我们知道14=ab，9=a+b，那么我们该从哪里入手呢？

这里做两个说明：（1）分解的结果中a、b都是整数（不会出分数、无理数什么的）

（2）要分解14，而不是去拆解9。因式分解题目结果中的系数，都是整数，那么14的分解情况就很少了，而和为9的情况太多了，由此可见去分解14是最简单的做法

于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：

先把常数14分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。如果等于，分解结束；如果不等于继续尝试。

总结为一句口诀：分两头、中间凑

当然，如果我们能将刚刚提到的列竖式的方法加入，就有了更简单的写法

最后再将每一横行写到一个括号里得出最后的结果

这里也有一句比较常用的口诀：竖拆、叉乘、横写（竖拆常数二次项、叉乘求和凑中项，横写括号得结果）

例题2：因式分解

熟练掌握后，也可直接写系数

在分解6时，同号得正，且中间项系数为负，那就只需考虑-1×（-6）或-2×（-3），

因-1+（-6）=-7，所以结果为

例题3：因式分解

在分解﹣6时，异号得负，且中间项系数为-1，那就只能分解成-3和2

故结果为

三、更进一步

前面研究了二次项系数为1的二次三项式，一般的二次三项式也可利用十字相乘来分解

例题4：因式分解

采取类似的方法：把6分解成2×3，写在第一列；把2分解成-1×（-2），写在第二列，然后交叉相乘进行验证，如果不行，继续尝试。

结果为

例题5：因式分解

这道题稍微有些复杂，可能需要一定的尝试

四、特殊情况的特殊做法

二次三项式系数和为0 ，有特殊解法，说明如下 ：

掌握了这个方法，下面的题目可以直接得出答案

五、写在最后的话

因式分解十字相乘法第 4 篇

十字相乘法是二次三项式进行因式分解的重要方法，分解的要领是“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”，十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，但是对于形如ax^2十bxy十cy^2十dx+ey十f的多项式就显得有点力不从心了，此时运用十字相乘法分解显然是无法一步到位的，需要两次运用到十字相乘法。

双十字相乘法的具体方法：

①将a分解成mn的乘积作为一组；

②将c分解成pq的乘积作为第二组；

③将f分解成jk的乘积作为第三组；

④使mq+np=b，pk十qj=e，mk十nj=d成立，

双十字相乘法分解因式模式

则多项式ax^2十bxy十cy^2十dx+ey十f可分解为：（mx+py+j）（nx+qy+k）的形式。

例1、分解因式：4X^2-4XY-3Y^2-4X+10Y-3。

分析：通过细致观察之后，我们发现前三项可以运用十字相乘法分解成（2X-3Y）（2X十Y），然后再把（2X-3Y），（2X十Y）作为一个一次因式，再次运用十字相乘法分解，如下图所示：

因式分解图解

4X^2-4XY-3Y^2-4X+10Y-3

=（2X-3Y）（2X+Y）-4X+10Y-3

=（2X-3Y+1）（2X+Y-3）。

自然，我们也可以把这个二次六项式式转化为关于X（Y）的二次三项式后再运用十字相乘法进行因式分解。

解法2：

4X^2-4XY-3Y^2-4X+10Y-3

=4X^2-4X（Y+1）-（3Y^2-10Y+3）

=4X^2-4X（Y+1）-（3Y-1）（Y-3）

=（2X-3Y+1）（2X+Y-3）。

例2、分解因式：mn十n^2十m一n一2。

分析：有的同学会说，二次六项式可以用双十字分解法来进行分解，但现在这个多项式明明是个二次五项式，那也能用双十字分解法来进行分解因式么？

我们知道，0乘以任何数都等于0，所以我们可以把缺少的那一项当作系数为0好了。

mn十n^2十m一n一2

=0m^2十mn十n^2十m一n一2

=（0m十n十1）（m十n一2）

=（n十1）（m十n一2）。

例3、分解因式：6a^2-7ab-3b^2-ac+7bc-2c^2

分析：本题可将该多项式看成关于a，b（b，c或a，c）的二次三项式，运用双十字相乘法进行分解。

6a^2-7ab-3b^2-ac+7bc-2c^2

=（2a-3b）（3a+b）-ac+7bc-2c^2

=（2a-3b+c）（3a+b-2c）。

或者

6a^2-7ab-3b^2-ac+7bc-2c^2

=6a^2-ac-2c^2-7ab+7bc-3b^2

=（2a+c）（3a-2c）-7ab+7bc-3b^2

=（2a+c-3b）（3a-2c+b）。