这是立体几何截面问题秒杀，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

立体几何截面问题秒杀第 1 篇

前段时间在高三教学中遇到这样的问题：

在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如：判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，都必须首先掌握空间几何体截面的作图。

在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题。而已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题的一个方法，也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径。

作几何体的截面，是立休几何教学中的一个难点，需要较强的空间想象能力和动手操作能力，正确判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置。让学生掌握作几伺体截面的方法，有助于深入理解直线和平面的有关性质，有效地形成空间概念。

一个平面截一个几何体，这个平面和几伺体的各个面交线，围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形就称为几何体的截面。如果几何体是多面体，其截面是多面形；如果几何体是旋转体，其截面还可能是二次曲线所围成的封闭图形。

截面的问题的研究，对于发展学生的空间想象能力，综合运用立体几何各方面的知识技能，提高学生的解题能力，都是十分有启发、思考价值的题材、是立体几何重要的学习目的；而对学生进行空间几何体截面的作图等训练正是培养和发展学生的这一能力，同时也成为了促进学生综合运用空间构图方面知识开发教学兴趣点的拓展课题。

接下来小编从原理和操作两个层面介绍较复杂的不平行于底面的截面问题的解决方案以供参考。

空间几何体的截面的作图主要原理：两个公理及两个性质。

其中，两个公理为：

（1）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线；

（2）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

两个性质为：

（1）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；

（2）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行。

空间几何体的计算要掌握好“定位”、“定形”、“定量”这三个主要的环节。首先，由上面所讲到的方法确定出关键点。其次，由关键点确定截面与空间几何体相关的交线。再次，是根据问题中已知的条件与空间点、线、面的位置关系确定截面的基本特征。最后，运用平面解析几何的有关性质定理与判定定理完成截面相关截面边长、周长、或者面积等数量计算。

空间几何体的截面作图主要的作法：直接法、平行线法、延长法、辅助平面法，接下来，我们依次展开。

一、直接法

用直接法解决截面问题的关键是：截面上的点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，我们可以借助于公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内，直接解决这类问题。

二、平行线法

用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与截面上某点在几何体的某一个表面平行。我们可以借助于两个性质，（1）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；（2）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行。直接解决这类问题。

三、延长线法

用延长线法解决截面问题的关键是：截面上的点中至少有两个点在一个几何体的一个表面上，我们可以借助于公理，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。直接解决这类问题。

四、辅助平面法

立体几何截面问题秒杀第 2 篇

二、基础知识

1．柱、锥、台、球的结构特征

棱柱：一般的，有两个面______，其余各面都是_______，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的几何体；

圆柱：以______的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体； 棱锥：一般的有一个面是_____，其余各面都是有一个公共顶点的_______，由这些面所围成的几何体；

圆锥：以_________的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体；

棱台：用一个平行于______的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台； 圆台：以_________的高所在的直线为旋转轴，旋转形成的曲面所围成的几何体； 球：以半圆的______所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

2．空间几何体的三视图基本特征：长_____,宽_____,高______.

3．空间几何体的直观图：斜二测画法

①在原图形中建立直角坐标系，②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对

' ' 应的O X ,O Y , 使 X ' OY =____________，它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于__，且长度___；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于___，且长度___________；

’’’’

(S表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，

l 表示侧棱长。)

12面半径，R 表示半径。)

三、小题训练

1、 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图， 则这个平面图形的面积是 ．

x ′

2

①正方形 ②圆锥 ③三棱台

3、如图（右面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图

是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是________.

4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，

则这个棱柱的体积为______________

俯视图 正视图

侧视图

5、如图是利用斜二测画法画出的?ABO 的直观图, 已知O ' B ' =4,且

?ABO 的面积为16, 过A ' 作A ' C ' ⊥x ' 轴, 则A ' C ' 的长为

俯视图

6．在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示），若将△ABC

绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是__________

7．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是38．一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6cm 的正方形，则此三棱柱的体积为______cm．

9．如图，10．的正三角形，俯视图为正____________

第3题 二、基础知识

1．平面概述

（1）平面的特征：①无限延展 ②没有厚度

（2）平面的画法：通常画__________来表示平面；

（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。

2．三公理三推论:（用符号语言表示）

公理1：______________________________________________________

公理2：______________________________________________________

公理3：______________________________________________________

推论一：______________________________________________________

推论二：______________________________________________________

推论三：______________________________________________________

3．空间直线:

（1）空间两条直线的位置关系：

相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点；

异面直线——_____________________________。相交直线和平行直线也称为____直线。

（2）公理4：____________________________________

（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。符号语言：A ∉α, B ∈α, a ⊂α, B ∉a ⇒AB 与a 是异面直线。

4．直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点），符号：_______；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点），符号：________；

（3）直线和平面平行（没有公共点），符号：__________。

5. 线面平行的判定定理：___________________________________________________， 符号语言：_________________________________________．

线面平行的性质定理：________________________________________________________， 符号语言：________________________________________．

6．线面垂直定义：__________________________________________________________ 符号语言：_________________________________________

直线与平面垂直的判定定理：_______________________________________________， 符号语言：_________________________________________．

直线和平面垂直的性质定理：_______________________________________________， 符号语言：_________________________________________．

三、小题训练

1．已知α, β是平面，m , n 是直线，则下列命题中不正确的是

A ．若m ∥n , m ⊥α，则n ⊥α B. 若m ∥α, α?β=n ，则m ∥n

C ．若m ⊥α, m ⊥β，则α∥β D. 若m ⊥α, m ⊂β，则α⊥β

2. 设α表示平面，a , b 表示直线，给定下列四个命题：

①a //α, a ⊥b ⇒b ⊥α；②a //b , a ⊥α⇒b ⊥α;

③a ⊥α, a ⊥b ⇒b //α; ④a ⊥α, b ⊥α⇒a //b . 其中正确命题的个数有2个

3. 下列四个命题中，真命题的个数为（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；

（2）两条直线可以确定一个平面；

（3）若M ∈α，M ∈β，α?β=l ，则M ∈l ；

（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．

4．已知m , n 是不重合的直线，α, β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α, n //α，则m //n ；②若m //n ，m ⊥α，则n ⊥α；③若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；④若

（写出所有真命题的序号） m ⊥α, m ⊥β，则α//β．其中真命题有．

5．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．

①矩形；②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；

④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

6．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个结论：

① AC ⊥PB ； ② AC ∥平面PDE ；③ AB ⊥平面PDE 。则所有正确结论的序号是。

7．设x , y , z 是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x //y ”为真命题的是 （把你认为正确的结论的代号都填上）；①x 为直线，y 、z 为平面，②x 、y 、z 为平面，③x 、y 为直线，z 为平面，④x 、y 为平面，z 为直线，⑤x 、y 、z 为直线。

8. 已知两条直线m , n ，两个平面α, β，给出下面四个命题其中正确命题的序号是___：

①m //n , m ⊥α⇒n ⊥α ②α//β, m ⊂α, n ⊂β⇒m //n

③m //n , m //α⇒n //α ④α//β, m //n , m ⊥α⇒n ⊥β

9．下列四个命题，正确命题序号为____________（请把所有正确命题的序号都填上）．： ⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ(00

⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线 都平行；

⑷ 对两条异面的直线a , b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等

10．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF ⊥AC , EF ⊥A 1D

则EF 和BD 1的关系是

二、基础知识

1．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）

（1）两个平面平行的判定定理：________________________________________________

符号语言：_________________________________________________

（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线___于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_________。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：_____________________________________________________。

两平面垂直的判定定理：_______________________________________________________。 两平面垂直的性质定理：_______________________________________________________.。

三、小题训练

1、下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形的序号是__________

2、如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，?ABC 内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有以下命题：①BC ⊥PC ；②OM //平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中真命题的个数为_____

3、设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题：

①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β；

③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直， 则a ⊥b . 其中正确命题是__________

4、已知直线m 、l , 平面α、β，且m ⊥α, l ⊂β，给出下列命题：

①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；

③若m ⊥l , 则α∥β；④若m ∥l , 则α⊥β.

其中正确命题的个数是_________

5、若α、β是两个不重合的平面，以下条件中可以判断α∥β的是:_______：

①α、β都垂直于平面γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；

③l 、m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；

④l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.

6. 已知α, β是平面，m ，n 是直线，下列命题中正确命题的个数是__________：

①若m ⊥α, m ⊂β，则α⊥β；②若m ⊂α, n ⊂α, m //β，n //β, 则α//β；

③如果m ⊂α, n ⊄α, m 、n 是异面直线，那么n 与α相交；

④若α?β=m , n //m ，且n ⊄α, n ⊄β，则n //α且n //β.

7. 已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α, β，有下列命题

①若m //n , n ⊂α, 则m //α； ②若l ⊥α, m ⊥β且l //m , 则α//β；

③若m ⊂α, n ⊂α, m //β, n //β, 则α//β； ④若α⊥β, α β=m , n ⊂β, n ⊥m , 则n ⊥α； 其中正确的命题个数是_______

8. 关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题，其中真命题的序号是_________：

①若m //α, n //β且α//β，则m //n ； ②若m ⊥α, n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α, n //β且α//β，则m ⊥n ； ④若m //α, n ⊥β且α⊥β，则m //n ．

α, β是不重合的平面，9、已知m , n 是不重合的直线，下列命题中真命题的个数是 ________

①若m ⊂α, n ∥α，则m ∥n ②若m ∥α, m ∥β，则α∥β

③若α β=n , m ∥n ，则m ∥α且m ∥β ④若m ⊥α, m ⊥β, 则α∥β。

10、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①n ∥α, α⊥β，则n ⊥β；②若m ⊥n ，n ⊥α，m ⊥β，则α⊥β；③若n ⊥α，α⊥β，

立体几何截面问题秒杀第 3 篇

[教学目标]

一、知识与技能：认识棱柱棱锥和棱台及多面体的几何特征；了解它们的概念，能正确做出它们的草图

二、过程与方法：通过观察→平移→棱柱的概念，收缩→棱锥的概念，截面→棱台的概念，汇总→多面体的概念

三、情感态度和价值观：体会观察、比较、归纳、分析一般的科学方法，感受数学的局部和整体的关系

[教学难点]平移及对棱台概念的理解，平面几何与立体几何的区别

[教学重点]棱柱棱锥和棱台概念间的关系，画它们的草图

[备注]本节是一个课件

[教学过程]

一、导入新课：展示几个图片（神六发*升空、dna双螺旋结构示意图、中华世纪坛、兴化中学的太阳鼓），说明无论多复杂的几何体，通常是由一些简单的几何体构成的，引入主体-----空间几何体。

先从最简单的几何体入手------棱柱棱锥和棱台及多面体

二、新课

（一）介绍棱棱锥棱台的概念

1、棱柱

⑴展示棱柱的模型及图片，汇总名称，（因其形状如柱子）故称棱柱，但不能这样定义：形状如柱子的几何体称棱柱。如何定义呢？

⑵几何画板展示棱柱的形成过程

⑶严格的棱柱相关的定义：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成地几何体称棱柱；平移起止位置的两个面叫棱柱的底面，多边形的边形成的面叫棱柱的侧面；每两个侧面的交线称棱柱侧棱。

⑷学生根据以往的经验，来表示棱柱：根据底面的形状是几边形，相应称作几棱柱，在后面加上棱柱的底面。如：

记为三棱柱abc-a1b1c1，表示为四棱柱abcd-a1b1c1d1

⑸让学生观察总结出棱柱的特点：两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形且对应边平行，侧面都是平行四边形

2、棱锥

⑴演示当棱柱的一个底面收缩为一个点时的情况，说明因为象一个锥子，所以叫棱锥。给出棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的几何体，叫棱锥；这个点叫做棱锥的顶点，原棱柱的底面、侧面、侧棱仍然称棱锥的底面、侧面、侧棱。

⑵对照棱柱的表示方法，总结棱锥的表示方法。

⑶通过图形比较得出棱锥的特点：底面是多边形，侧面是由一个公共点的三角形。

练习：如图的形状是否为棱锥，说明理由：（不是：，因为侧棱不交于一点。）

3、棱台

⑴观察棱台的模型，说明如何形成，并演示其形成过程

⑵说明棱台的相关定义

⑶类比棱台的表示方法

⑷棱台的特点：棱台的每个底面是相似的多边形，且对应边平行，侧面是梯形

练习：如图下部分的几何体是否为棱台？为什么？（答：不是，上下底面的对应边不平行）

（二）介绍棱柱、棱锥、棱台的画法

例1、（教材p7---例1）画一个四棱柱和一个三棱台

总结棱柱、棱锥、棱台草图的画法，并注意实虚线。

练习如图是一个三角形，画出以它为底面满足条件的棱柱。⑴三角形是水平放置的；⑵三角形是竖直放置的。

⑴⑵

例2:判断下列命题是否正确

(1)有两个面互相平行其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱;

(2)三棱柱是指三条棱的几何体;

(3)棱锥的侧面只能是三角形;

(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥,那么有六个面围成的封闭图形只能是五棱锥;

(5)棱台的侧面一定不会是平行四边形;

(6)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台

解：(3)(5)正确

（三）介绍多面体的概念

1、观察发现棱柱、棱锥、棱台的共同特点：

2、定义：由若干个平面多边形围成的封闭几何体叫做多面体，其中每条边叫做多面体的棱，多面体按面的个数是几称几面体。

3、现实中的多面体很多：如：食盐、明*等

练习：教材p8---练习1、2、3

例3:在三棱锥s-abc中,sa=sb=sc=2,侧面都是顶角为300的等腰三角形,e,f分别为侧棱sb,sc上的点,求三角形aef周长的最小值

解：展开是一个直角三角形，最小值2

立体几何截面问题秒杀第 4 篇

一、基本知识点

1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等等），得到的平面图形叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。

2、正六面体的基本斜截面：

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正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

3、圆柱体的基本截面：

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技能要求：

技能1.结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；

技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；

技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；

技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

二、例题选讲：

例1.一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ）

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分析:考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。

例2.有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）

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例3

某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4√3的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（ ）

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故选:C.

例5

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首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.

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例9

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例11（2013安徽高考理）如图,正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

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故⑤正确．

①②③⑤

例12（2020南昌二模）已知正四棱锥P﹣ABCD中,△PAC是边长为3的等边三角形,点M是△PAC的重心,过点M作与平面PAC垂直的平面α，平面α与截面PAC交线段的长度为2,则平面α与正四棱锥P﹣ABCD表面交线所围成的封闭图形的面积可能为

　　（请将可能的结果序号横线上）

①2； ②2√3； ③3； ④3√3．

设AC∩BD＝O，由P﹣ABCD为正四棱锥，知BO⊥平面PAC，过M作MT∥BO，分别交PB、PD于点T、L，则MT⊥平面PAC，只需所作的平面α是包含TL且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案．

设AC∩BD＝O，∵P﹣ABCD是正四棱锥，∴平面PAC⊥平面ABCD，又BO⊥AC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BO⊂平面ABCD，∴BO⊥平面PAC，过M作MT∥BO，分别交棱PB、PD于点T，L，则MT⊥平面PAC，由题意只需所作的平面α是包含TL且与截面PAC交线段的长度为2即可，又△PAC是边长为3的等边三角形，点M是△PAC的重心，过M作MQ∥AC，分别交棱PA、PC于点E，Q，

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如图2，过T作TH∥GF，过L作LQ∥GF，由题意得GLQHT为满足题意的平面α，GLQF和GTHF是两个全等的直角梯形，T，H分别为GE、EF的中点，