三种解决一元三次方程的求根公式

　　导语：一元三次方程的标准形式(即所有一元三次方程经整理都能得到的形式)是ax3+bx2+cx+d=0(a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0)。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

　　一元三次方程求根公式

　　下面介绍三种三次方求根计算方法：　　　　第一：计算方法

　　X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3

　　n，n+1是下角标，A被开方数。

　　例如，A=5，5介于1的.3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1;1.2;1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：

　　第一步，2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1;

　　第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2;

　　第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3;

　　每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。

　　第二：置换群解法

　　一元三次方程 系数和根的关系如下：求出X,Y，后有这是个线性方程，其中为原方程的三个根!

　　第三：公式法(卡尔丹公式)　　若用A、B换元后，公式可简记为：

　　x1=A^(1/3)+B^(1/3);

　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;

　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

　　判别法

　　当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根;

　　当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等;

　　当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。

　　推导　　第一步：

　　ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)

　　为了方便，约去a得到

　　x^3+kx^2+mx+n=0

　　令x=y-k/3 ，

　　代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，

　　(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，

　　k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，

　　所以相加后y^2抵消 ，

　　得到y^3+py+q=0，

　　其中p=-k^2/3+m ，

　　q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

　　第二步：

　　方程x^3+px+q=0的三个根为：

　　x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

　　+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);

　　x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

　　+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);

　　x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

　　+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，

　　其中w=(-1+i√3)/2。

　　×推导过程：

　　1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ;

　　2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，

　　3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。

　　再令x=y-s/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。

　　设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：

　　(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，

　　如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，

　　由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。

　　解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

　　不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

　　则u^3=A;v^3=B ，

　　u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ;

　　v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，

　　但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：

　　u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3);

　　u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2;

　　u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，

　　最后：

　　方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即

　　x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);

　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;

　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。