浅谈曲线方程的求法

解析几何在高中数学中既是重点,又是难点,每年高考所占分值较大,综合性强,学生理解和运用时困难较大,特别是对基础较差的学生来说困难更大。因此,有必要从曲线与方程概念的理解入手,掌握求曲线方程的基本思路和基本方法,从而起到事半功倍的效果。为此浅议如下:

一、曲线与方程

曲线与方程的概念,包括两方面的含义:

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,直观地说“点不比解多”,也可以说曲线上没有坐标不满足方程的点,称为纯粹性。

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,直观地说“解不比点多”,即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程。

例1:以线段AB为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是以AB为直径的圆。

这个答案是错误的,因为不具有纯粹性,也就是说图形包含有不符合条件的A、B两点(为什么),所以正确答案是以AB为直径的圆且直径AB两端点A、B除外(如图所示)。

例2:一动点M到y轴的四倍与它到A(1,-3)的距离平方相等,则动点M的轨迹是:以(3,-3)为圆心,半径为的圆。

这个答案错误,因为设M(x,y),则4|x|=(x-1)2+(y+3)2。

当x≥0时,方程可化为(x-3)2+(y+3)2=8;当x< 0时,方程可化为(x+1)2+(y+3)2=0。

所以动点M的轨迹 是以(3,-3)以为圆心,半径为的圆,与点(-1,-3)所组成。

注意:不能把点(-1,-3)遗漏,若遗漏则不具备完备性,解答将是错误的。

正是由于曲线与方程有两方面的含义,它沟通了数学内数与形、代数与几何最基本的联系,形成了一门学科――解析几何,从而用代数的方法去研究几何图形的性质,这就是解析几何的基本思想。

求曲线的方程是解析几何的首要问题,有了曲线的方程,才能利用方程研究曲线的性质,求曲线的方程可以是曲线的普通方程,也可以是它的参数方程,参数方程中消去参数就得到了普通方程,选择哪种形式的方程解题,要根据具体条件和要解决的问题而定。

二、建立适当的坐标系求轨迹方程

我们知道,一条曲线在不同的坐标系下方程不同,因此要适当地建系,以便简化方程,进而便于研究曲线的性质。

怎样才是适当呢?一般地,若所求的曲线关于某直线成轴对称,常选取对称轴为坐标轴,若所求的曲线关于某点成中心对称,选取该点为坐标原点,这样求得的曲线方程较为简单。

三、求轨迹方程的基本方法、思路

轨迹是动点M按照一定的规律,即按轨迹条件运动形成的图形,这个轨迹条件一旦用动点M的坐标(x,y),用x,y的关系式表示出来,即f(x,y)=0,轨迹方程f(x,y)=0就产生出来,因此求轨迹的基本思路是:

这里所谓的“坐标化”就是把轨迹条件中各种数量用动点M的坐标(x,y)表示出来,轨迹条件可表现为不同的形式,其中使它转化为有利于坐标化的形式正是困难所在。同时还要注意一个最常用、最基础的公式,即|P1P2|=, 务必记好用好。

四、求曲线方程的几种基本方法解法举例

例1:(1)和坐标轴都相切的圆的圆心M的轨迹是什么?

(2)圆心在直线5x-3y=8上,且圆与坐标轴相切,求此圆的方程式。

解:(1)如图所示,设M(x,y),则M∈P={M||MA|=|MB|},其中A,B分别是点M到x轴、y轴的垂足。

又∵|MA|=|y|,|MB|=|x|

∴|y|=|x| 即y2=x2

∴y=±x

又∵圆心M不能与原点重合(为什么)

∴圆心M的轨迹方程是y=±x(x≠0)

点M的轨迹是直线y=x和直线y=-x且原点除外

(2)分析:由(1)可知所求圆的圆心是在直线y=x与直线5x-3y=8交点和直线y=-x与直线5x-3y=8的交点

动点M是依赖于某一变量t(或)表示动点M的坐标(x,y)得到M点的参数方程,同时要注意参数范围和消参的等价性。

 

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