2023年正弦定理的证明方法

2017年正弦定理的证明方法

  正弦定理是数学的王冠,关于它的证明方法是怎样的呢?下面就是百分网小编给大家整理的正弦定理的证明方法内容,希望大家喜欢。

  正弦定理的证明方法一

  如图1,△ABC中,AD平分乙A交BC于D,由三角形内角平分线有AB BDAC一DC由正弦定理有:由(1)(2)(3,得:韶=韶幼朋=Ac:.△ABc为等腰三角形。证明‘三角证法,:BE平分匕B二器二黯…(l)AB AC AB滋nC舀石乙二蕊丽劝元二舀丽””’‘(2)CF平分二C幼器二默…(2);EF//BC

  用余弦定理:a^2+b^2-2abCOSc=c^2

  COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

  SINc^2=1-COSc^2

  SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

  =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

  同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

  得证

  正弦定理:三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

  证明如下:在三角形的外接圆里证明会比较方便

  例如,用BC边和经过B的直径BD,构成的直角三角形DBC可以得到:

  2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)

  角A=角D

  得到:2RsinA=BC

  同理:2RsinB=AC,2RsinC=AB

  这样就得到正弦定理了

  正弦定理的证明方法二

  一种是用三角证asinB=bsinA

  用面积证

  用几何法,画三角形的外接圆

  听说能用向量证,咋么证呢?

  三角形ABC为锐角三角形时,过A作单位向量j垂直于向量AB,则j 与向量AB夹角为90,j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,

  因为AB+BC+CA=0

  即j*AB+J*BC+J*CA=0

  |j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

  所以asinB=bsinA

  用余弦定理:a^2+b^2-2abCOSc=c^2

  COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

  SINc^2=1-COSc^2

  SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

  =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

  同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

  得证用余弦定理:a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证

  正弦定理证明具体步骤

  步骤1.

  在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

  CH=a·sinB

  CH=b·sinA

  ∴a·sinB=b·sinA

  得到 a/sinA=b/sinB

  同理,在△ABC中, b/sinB=c/sinC

  步骤2.

  证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:

  如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

  作直径BD交⊙O于D.

  连接DA.

  因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

  因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

  所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

  余弦定理

  平面向量证法:

  ∵如图,有a+b=c(平行四边形定则:两个邻边之间的`对角线代表两个邻边大小)

  ∴c·c=(a+b)·(a+b)

  ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

  (以上粗体字符表示向量)

  又∵Cos(π-θ)=-CosC

  ∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)

  再拆开,得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

  同理可证其他,而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

  平面几何证法:

  在任意△ABC中

  做AD⊥BC.

  ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a

  则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

  根据勾股定理可得:

  AC^2=AD^2+DC^2

  b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

  b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB

  b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

  b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

  cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac


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