数学最常用的基本数学方法

　　什么是数学方法 ? 中学数学有哪些常用的基本数学方法 ?

　　答：所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式．人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序．同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法．数学方法是以数学的工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。

　　数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是逻辑的严密性及结论的确定性，三是应用的普遍性和可操作性． 数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁确定的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具．现代科学技术特别是电子计算机的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成．

　　在中学数学中经常用到的基本数学方法，大致可以分为以下三类：

　　（ 1 ）逻辑学中的方法．例如分析法（包括逆证法）、综合法、反证法、归纳法、穷举法（要求分类讨论）等．这些方法既要遵重逻辑学中的基本规律和法则，又因为运用于数学之中而具有数学的特色．

　　高中英语 （ 2 ）数学中的一般方法．例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法（也称坐标法，在代数中常称图象法，在学生今后要学习的解析几何中常称坐标法）、比较法（数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同）等．这些方法极为重要，应用也很广泛．

　　（ 3 ）数学中的特殊方法．例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法（也称之为中间变量法）、拆项补项法（含有添加辅助元素实现化归的数学思想）、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等．这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用，对于某一类问题也都是一种通法。

　　高中数学 函数

　　函数简介：

　　在领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。

　　----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.

　　自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

　　----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.

　　函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。

　　函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

　　～‖函数的定义： 设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).

　　数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定。相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素。

　　functions

　　数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{yy=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。

　　若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。

　　例1：y＝sinx X＝［0，2π］，Y＝［－1，1］ ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1＝（a，b） ，a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。

　　其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为［0，b］。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法 ， 表格法和图 像法。

　　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与Y，并且对于X的每一个确定的值，Y都有为一得值与其对应，那么我们就说X是自变量，Y是X的函数。如果当X=A时Y=B，那么B叫做当自变量的值为A时的函数值。

　　复合函数 有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：

　　x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U 。 f的值域为U，当U*U时，称f与ψ 构成一个复合函数 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0 ，lgsinx有意义 。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0 ，lgsinx无意义，就成不了复合函数。

　　立体几何学习中的图形观

　　立体几何的离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间．所以在立体几何的中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的．

　　一、作图

　　作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决．

　　例1 已知正方体中，点P、E、F分别是棱AB、BC、的中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面．

　　分析：作图是学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点．看到这样的题目不知所云．有的连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可．观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面，由面面平行的性质可得，截面和面的交线一定和PE平行．而F是的中点，故取的中点Q，则FQ也是一条交线．再延长FQ和的延长线交于一点M，由公理3，点M在平面和平面的交线上，连PM交于点K 高中政治，则QK和KP又是两条交线．同理可以找到FR和RE两条交线（如图2).因此，六边形PERFQK就是所求的截面．

　　二、读图

　　图形中往往包含着深刻的意义，对图形理解的程度影响着我们的正确解题，所以读懂图形是解决问题的重要一环．

　　例2 如图3，在棱长为a的正方体中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝b＜a，若Q是上的定点，P在上滑动，则四面体PQEF的体积（ ）．

　　（A)是变量且有最大值（B）是变量且有最小值（C）是变量无最大最小值（D）是常量

　　分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点．这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？

　　仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P到EF的距离也是定值，故它的面积是定值．再发现点Q到面PEF的距离也是定值．因此，四面体PQEF的体积是定值．我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题．

　　三、用图

　　在立体几何的学习中，我们会遇到许多似是而非的结论．要证明它我们一时无法完成，这时我们可考虑通过构造一个特殊的图形来推翻结论，这样的图形就是反例图形．若我们的心中有这样的反例图形，那就可以帮助我们迅速作出判断．

　　例3判断下面的命题是否正确：底面是正三角形且相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱锥．

　　分析：这是一个学生很容易判断错误的问题．大家认为该命题正确，其实是错误的，但大家一时举不出例子来加以说明．问题的关键是二面角相等很难处理．我们是否可以考虑用一个正三棱锥通过变形得到？

　　如图4，设正三棱锥的侧面等腰三角形PAB的顶角是，底角是，作的平分线，交PA于E，连接EC．可以证明是等腰三角形，所以AB＝BE．同理EC＝AB．那么，△EBC是正三角形，从而就是满足题设的三棱锥，但不是正三棱锥．

　　四、造图

　　在立体几何的学习中，我们可以根据题目的特征，精心构造一个相应的特殊几何模型，将陌生复杂的问题转化为熟悉简单的问题．

　　例4 设a、b、c是两两异面的三条直线，已知，且d是a、b的公垂线，如果，那么c与d的位置关系是（ ）．

　　（A）相交 （B）平行（C）异面（D）异面或平行

　　分析：判断空间直线的位置关系，最佳是构造恰当的几何图形，它具有直观和易于判断的优点．根据本题的特点，可以考虑构造正方体，如图5，在正方体 中，令AB＝a，BC＝d，．当c为直线时，c与d平行；当c为直线时，c与d异面，故选D．

　　五、拼图

　　空间基本图形由点、线、面构成，而一些特殊的图形也可以通过基本图形拼接得到．在拼图的过程中，我们会发现一些变和不变的东西，从中感悟出这个图形的特点，找出解决待求解问题的方法．

　　例5给出任意的一块三角形纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种方案，并加以简要的说明．

　　分析：这是2002年立体几何题中的一部分．这个设计新颖的题目，使许多平时做惯了证明、计算题的学生一筹莫展．这是一道动作题，但它不仅是简单的剪剪拼拼的动作，更重要的是一种心灵的“动作”，思维的“动作”．受题目叙述的影响，大家往往在想如何折起来？参考答案也是给了一种折的方法．那么这种方法究竟从何而来？其实逆向思维是这题的一个很好的切人点．我们思考：展开一个直三棱柱，如何还原成一个三角形？

　　把一个直三棱柱展开后可得到甲、乙两部分，甲内部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是宽相等的三个矩形．现在的问题是能否把乙分为三部分，补在甲的三个角上正好成为一个三角形（如图丙）？因为甲中三角形外是宽相等的矩形，所以三角形的`顶点应该在原三角形的三条角平分线上，又由于面积要相等，所以甲中的三角形的顶点应该在原三角形的内心和顶点的连线段的中点上（如图丁）．按这样的设计，剪开后可以折成一个直三棱柱．

　　六、变图

　　几何图形千变万化，在不断的变化中展示几何图形的魅力，在不断的变化中培养我们的能力，在有意无意的变化中开阔我们的思路．

　　例6 已知在三棱锥中，PA＝a，AB＝AC＝2a，，求三棱锥的体积．

　　分析：此题的解决方法很多，但切割是不错的选择．

　　思路1 设D为AB的中点，依题意有：，，所以有：

　　此解法实际上是把三棱锥一分为二，三棱锥B-PAD的底面是直角三角形，高就是BD，从而大大简化了计算．这种分割的方法也是立体几何解题中的一种重要策略．它化复杂为简单，化未知为已知．

　　思路2 从点A出发的三条棱两两夹角为，故可补形为正四面体．

　　如图，延长AP至S，使PA＝PS，连SB、SC，于是四面体S-ABC为边长等于2a的正四面体，而且

　　从上述的六个方面，我们可以看到，在立体几何的学习中如果我们能正确了解图形,合理利用图形，不断变化图形，一定可以使我们的学习更上一个台阶．

　　趣谈平分

　　把饼那样的物体分成2等份，可以采用一个人切而让另一个人挑的办法，这样分的优点是很明显的。在第一个人看来，他必须把饼分成他认为价值相等的两部分，才能保证得到他应得的那一部分；而第二个人只要选取价值大的那一部分，或在两部分价值相等的情况下任选其中一部分，就能保证他得到他至少应得的那一部分。在这里，我们假定物体具有在分割时不会损失它的总价值。

　　若要把一个物体分成3或若干等份，我们可以采用这样的方法：这里以5个人分配来说明，对于任意多个分配者，分法大致是相同的。我们把这5个人叫做甲、乙、丙、丁、戊。甲有权利从饼上割下任一部分；乙有把甲所割出的一块减少的自由，但没有人强迫他这样做；然后丙又有减少这一块的自由，这样继续下去。假定最后是戊接触这块饼，那么由戊拿走这块饼，然后把剩余的饼在甲乙丙丁四人之间平分。第二轮可一用同样的步骤把参加的人数减少到三，以此分配下去。现在我们来看，每一个参加分配的人应如何做才能保证自己应得的那一部分归自己。在第一轮甲割下它认为值1/5的一块后，很可能没有人再去碰它而甲就达到值1/5的那一部分；在这种情况下，他没有做错。然而，如果有另一个或几个人减少了这块饼，那么最后接触到他的人就要得到它，所以甲当然认为价值超过/5的饼被留下由4个人平分，而他是这4个人中的一个。在第二轮甲照前面的办：如果他仍就是第一个，那么他割下认为有余下部分1/4价值的那一块。这个策略还不完全，我们还应指出一个分配者在他不是第一时应怎样做。假定乙认为甲所个下的部分太大，也就是比他估计的整个饼的1/5大了，那么他只要把它减少到他认为适当的大小；如果他成为最后一个减少这部分饼的人，他就得到了它，而且并没有做错，如果他没有得到它，那是因为在乙以后又有别的人接触了它。因而在乙以后的减小者中有一人要得到被乙认为是价值小于1/5的一块饼，所以乙在下一轮将参加分配他认为价值大于原来4/5的部分。现在方法就清楚了：如果你在任一轮中是n个分配者的第一个，那么不论放在你面前的是整个饼还是余下的部分，你总应该割下你认为价值时这部分饼的1/n的一块；如果你在这一轮中不是第一个，而且你看到由别人割下的一块比你估计的那部分饼的1/n大，那你就把它减小到1/n；如果割下的你估计的那部分饼的1/n小，那你就不要动它。这个方法保证每一个人得到他认为是应得的部分。 高中地理

　　在经济生活中，存在着另一种分配问题：分配的是不能分割的物体，如房子、家畜、家具、汽车、艺术品等。例如一笔遗产，包括：一座房子、一座磨坊和一辆汽车，要在享有同等继承权的四个继承人甲乙丙丁之间分配，需要一个公正人，请读者想一想，应如何去做？