高一数学必修4知识点总结

高一数学必修4知识点总结

  在我们的学习时代,说起知识点,应该没有人不熟悉吧?知识点是传递信息的基本单位,知识点对提高学习导航具有重要的作用。那么,都有哪些知识点呢?下面是小编为大家整理的高一数学必修4知识点总结,供大家参考借鉴,希望可以帮助到有需要的朋友。

  高一数学必修4知识点总结 1

  第一章 三角函数

  正角:按逆时针方向旋转形成的角

  1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

  零角:不作任何旋转形成的角

  2、角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.

  第二象限角的集合为k36090k360180,k

  第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

  终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

  第一象限角的集合为k360k36090,k

  3、与角终边相同的角的集合为k360,k

  4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

  5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,则角的弧度数的绝对值是

  l. r

  180

  6、弧度制与角度制的换算公式:2360,1,157.3. 180

  7、若扇形的圆心角为

  为弧度制,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,则lr,C2rl,

  1

  11

  Slrr2.

  22

  8

  、设是一个任意大小的角,它与原点的距离是rr的终边上任意一点的坐标是x,y,则sin

  0,

  yxy

  ,cos,tanx0. rrx

  9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,

  第三象限正切为正,第四象限余弦为正.

  10、三角函数线:sin,cos,tan.

  2222

  11、角三角函数的基本关系:1sin2cos21sin1cos,cos1sin

  ;

  2

  sin

  tancos

  sin

  sintancos,cos.

  tan

  12、函数的诱导公式:

  1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank. 2sinsin,coscos,tantan. 3sinsin,coscos,tantan. 4sinsin,coscos,tantan.

  口诀:函数名称不变,符号看象限.

  5sin

  cos,cossin.6sincos,cossin. 2222

  口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

  13、①的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

  1

  倍(纵坐标不变),得到函数ysinx的图象;再将

  函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数

  ysinx的图象.

  ②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

  1

  倍(纵坐标不变),得到函数

  ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点向左(右)平移

  个单位长度,得到函数

  ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横

  2

  坐标不变),得到函数ysinx的图象. 14、函数ysinx0,0的性质: ①振幅:;②周期:

  2

  ;③频率:f

  1

  ;④相位:x;⑤初相:. 2

  函数ysinx,当xx1时,取得最小值为ymin ;当xx2时,取得最大值为ymax,则

  11

  x2x1x1x2ymaxyminymaxymin

  22,,2.

  yASinx , A0 , 0 , T

  2

  15 周期问题

  2

  yACosx , A0 , 0 , T

  yASinx, A0 , 0 , T

  yACosx, A0 , 0 , T

  yASinxb , A0 , 0 , b 0, T

  2

  2

  yACosxb , A0 , 0 , b0 ,T

  TyAcotx , A0 , 0 ,

  yAtanx , A0 , 0 , T

  yAcotx, A0 , 0 , T

  yAtanx , A0 , 0 , T

  3

  第二章 平面向量

  16、向量:既有大小,又有方向的.量.数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.

  相等向量:长度相等且方向相同的向量.

  17、向量加法运算:

  ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

  C

  ⑶三角形不等式:ababab.

  ⑷运算性质:①交换律:abba;

  abcabc②结合律:;③a00aa.

  a

  b

  abCC

  4

  ⑸坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.

  18、向量减法运算:

  ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

  ⑵坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.

  设、两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,则x1x2,y1y2.

  19、向量数乘运算:

  ⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a. ①

  aa;

  ②当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,a0.

  ⑵运算律:①aa;②aaa;③abab.

  ⑶坐标运算:设ax,y,则ax,yx,y.

  20、向量共线定理:向量aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.

  设ax1,y1,bx2,y2,其中b0,则当且仅当x1y2x2y10时,向量a、bb0共线.

  21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有

  且只有一对实数1、2,使a1e12e2.(不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x1,y1,x2,y2,当12时,

  点的坐标是

  x1x2y1y2

  时,就为中点公式。)(当1 ,.

  11

  23、平面向量的数量积:

  ⑴ababcosa0,b0,0180.零向量与任一向量的数量积为0.

  ⑵性质:设a和b都是非零向量,则①abab0.②当a与b同向时,abab;当a与b反向

  2

  时,abab;aaaa或a.③abab.

  2

  ⑶运算律:①abba;②ababab;③abcacbc.

  ⑷坐标运算:设两个非零向量ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2.

  222

  若ax,y,则axy,

  或a设ax1,y1,则abxx12yy12bx2,y2,

  0.

  5

  高一数学必修4知识点总结 2

  第一章 三角函数

  1.

  正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。

  按边旋转的方向分 零角:如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角。 角负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。

  的 第一象限角{α|k2360°<α<90°+k2360°,k∈Z}

  分 第二象限角{α|90°+k2360°<α<180°+k2360°,k∈Z} 类 第三象限角{α|180°+k2360°<α<270°+k2360°,k∈Z} 第四象限角{α|270°+k2360°<α<360°+k2360°,k∈Z} 或{α|-90°+k2360°<α<k2360°,k∈Z} (象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角,它不属于任何一个象限. 2.终边相同角的表示:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+ k2360°,k∈Z}即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和。 3.几种特殊位置的角:

  ⑴终边在x轴上的非负半轴上的角:α= k2360°,k∈Z

  ⑵终边在x轴上的非正半轴上的角:α=180°+ k2360°,k∈Z ⑶终边在x轴上的角:α= k2180°,k∈Z

  ⑷终边在y轴上的角:α=90°+ k2180°,k∈Z ⑸终边在坐标轴上的角:α= k290°,k∈Z

  ⑹终边在y=x上的角:α=45°+ k2180°,k∈Z

  ⑺终边在y=-x上的角:α= -45°+ k2180°,k∈Z 或α=135°+ k2180°,k∈Z ⑻终边在坐标轴或四象限角平分线上的角:α= k245°,k∈Z

  4.弧度:在圆中,把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示。 5.6.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α 相关公式7.角度制与弧度制的换算 8.单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆。

  9.利用单位圆定义任意角的三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)那么: ⑴y叫做α的正弦,记作sinα即⑵x叫做α的余弦,记作cosα⑶

  y叫做α的正切,记作tanαx22

  10.sincos1 sin;cos

  同角三角函数的基本关系 α≠kπ+

  11.三角函数的诱导公式:

  πnis(k∈Z)】:ant2cos

  公sink2sin式cosk2cos一tank2tan其中kZ

  公sinsin公sinsin式cos

  cos

  式coscos

  公sinsin式coscos四tantan

  公sincos

  2

  公sinsco

  2

  式cossin式cosn si

  22

  五tancot

  2

  六tantco

  2

  注意:ysinx周期为2π;y|sinx|周期为π;y|sinxk|周期为2π;ysin|x|不是周期函数。

  13.得到函数yAsin(x)图像的方法:

  y=sin(x+)ysin(x)y①y=sinx

  周期变换

  向左或向右平移||个单位

  平移变换周期变换振幅变换

  Asin(x)

  ②y=sinxysinxysin(x)yAsin(x) 14.简谐运动

  ①解析式:yAsin(x),x[0,+) ②振幅:A就是这个简谐运动的振幅。 ③周期:T④频率:f=

  振幅变换

  2π

  1

  T2π

  ⑤相位和初相:x称为相位,x=0时的相位称为初相。

  第二章 平面向量

  1.向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量。数量:我们把只有大小没有方向的量称为数量。 2.有向线段:带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素:起点、方向、长度。

  3.向量的长度(模):向量AB的大小,也就是向量AB的长度(或称模),记作|AB|。

  4.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是任意的。

  单位向量:长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。

  5.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是两个平行向量,那么通常记作a∥b。

  平行向量也叫做共线向量。我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任一向量a,都有0∥a。

  6.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是两个相等向量,那么通常记作a=b。

  BC=b,b,7.如图,已知非零向量a、在平面内任取一点A,作AB=a,则向量AC叫做a与b的和,记作ab,

  即abABBCAC。

  向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。

  8.对于零向量与任一向量a,我们规定:a+0=0+a=a

  9.公式及运算定律:①A1A2+A2A3+...+AnA1=0②|a+b|≤|a|+|b|

  (a+b)+ca(b+c)③a+bba ④

  10.相反向量:①我们规定,与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a。a和-a互为相反向

  量。

  ②我们规定,零向量的相反向量仍是零向量。

  ③任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)(=-a)+a=0。

  ④如果a、b是互为相反的向量,那么a= -b,b= -a,ab=0。

  ⑤我们定义a-b=a+,即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 (-b)

  11.向量的数乘:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘。记作a,它的

  长度与方向规定如下:①|a||||a| ②当λ>0时,a的方向与a的方向相同;当λ<0时,的方向与a的

  方向相反;λ=0时,a=0

  (a)()a 12.运算定律:①

  ②()aaa

  ③(ab)=ab

  ()a(a)(a)(ab)=ab ④⑤

  13.定理:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=a,那么a与b共线。相反,已知向量a与b

  共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=a;当a

  与b反方向时,有b= a。则得如下定理:向量向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=a。

  14.平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且

  只有一对实数1、2,使a1e12e2。我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基

  底。

  15.向量a与b的夹角:已知两个非零向量a和b。作OAa,OBb,则AOB(0°≤θ≤180°)叫

  做向量a与b的夹角。当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向。如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作ab。

  16.补充结论:已知向量a、b是两个不共线的两个向量,且m、n∈R,若manb0,则m=n=0。

  17.正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。

  18.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。即若a(x1,y1),b(x2,y2),则

  ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2)

  19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若a(x1,y1),则a(x1,y1)

  20.当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线

  x1x2y1y2

  21.定比分点坐标公式:当P1PPP2时,P点坐标为(,)

  11

  ①当点P在线段P1P2上时,点P叫线段P1P2的内分点,λ>0 ②当点P在线段P1P2的延长线上时,P叫线段P1P2的外分点,λ<-1; 当点P在线段P1P2的反向延长线上时,P叫线段P1P2的外分点,-1<λ<0. 22. 从一点引出三个向量,且三个向量的终点共线,

  B

  则OCOAOB,其中λ+μ=1

  23.数量积(内积):已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos叫做a与b 的数量积(或内积),记作a2b即a2b=|a||b|cos。其中θ是a与b的夹角,

  |a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。我们规定,零向量与任一向量的数量

  积为0。

  24. a2b的几何意义:数量积a2b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。

  25.数量积的运算定律:①a2b=b2a ②(λa)2b=λ(a2b)=a2(λb) ③(a+b)2c=a2c+b2c 22222222④(ab)a2abb ⑤(ab)a2abb ⑥(ab)(ab)ab

  26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即abx1x2y1y2。则:

  22

  2

  ①若a(x,y),则|a|xy,或|a|。如果表示向量a的有向线段的起点和中点的坐标分别为(x2x1,y2y1)

  (x1,y1)(x2,y2)、,那么a,|a|

  (x1,y1)(x2,y2)②设a,b,则abx1x2y1y20ab0

  (x1,y1)(x2,y2)27.设a、b都是非零向量,a,b,θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表

  ab

  示可得:cos

  |a||b|

  第三章 三角恒等变换

  cs1.两角和的余弦公式:oos2.两角差的余弦公式:c

  csocsnisniso

  coscosnisnis

  3.两角和(差)余弦公式的公式特征:①左加号,右减号。②同名函数之积的和与差。③α、β叫单角,α±β

  叫复角,通过单角的正、余弦求和(差)的余弦值。④“正用”、“逆用”、“变用”

  is4.两角和的正弦公式:nis5.两角差的正弦公式:n

  isoscosnisnc

  nisoscosnisc

  6.两角和(差)正弦公式的公式特征及用途:①左右运算符号相同。②右方是异名函数之积的和与差,且正弦值

  篇三:高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)

  必修四常考公式及高频考点

  第一部分 三角函数与三角恒等变换

  考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法:

  所有与角终边相同的角,连同角在内可以构成一个集合:{β|β= k2360 °+α,k∈Z } 2.象限角的表示方法: 第一象限角的集合为{α第二象限角的集合为{α第三象限角的集合为{α第四象限角的集合为{α

  | k2360 °<α<k2360 °+90 °,k∈Z }

  | k2360 °+90 °<α<k2360 °+180 °,k∈Z } | k2360 °+180 °<α<k2360 °+270 °,k∈Z } | k2360 °+270 °<α<k2360 °+360 °,k∈Z }

  3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法:

  (1)若所求角β的终边在某条射线上,其集合表示形式为{β|β= k2360 °+α,k∈Z },其中α为射线与x轴非负半轴形成的夹角

  (2)若所求角β的终边在某条直线上,其集合表示形式为{β|β= k2180 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角

  (3)若所求角β的终边在两条垂直的直线上,其集合表示形式为{β|β= k290 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角 例:

  终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k2360 °+270 °,k∈Z }

  终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k2180 °+135 °,k∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k290 °+45 °,k∈Z } 易错提醒:

  区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0~90、小于180度的角

  考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化

  180,1

  180

  57.3,1弧度

  180

  2.扇形的弧长和面积公式(分别用角度制、弧度制表示方法)

  nR

  R, 其中为弧所对圆心角的弧度数 180

  1nR21

  lR2||, 其中为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式:S

  23602

  弧长公式:l

  12

  易错提醒:利用S= R||求解扇形面积公式时,为弧所对圆心角的弧度数,不可用角度数

  2

  规律总结:“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量,“知二求二”,注意公式选取技巧

  考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义

  设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,那么siny,cosx,tan

  y(r|OP|

  rrx化简为siny,cosx,tan2.三角函数值符号

  ;

  y

  . x

  规律总结:利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值

  除此之外,还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线

  经典结论: (1)若x(0,(2)若x

  (0,

  2

  ),则sinxxtanx

  ),则1sinxcosx2

  (3)|sinx||cosx|1

  例:

  11

  在单位圆中分别画出满足sinα=cosα=、tanα=-1的角α的终边,并求角α的取值集合

  22考点四 三角函数图像与性质

  考点五 正弦型(y=Asin(ωx+φ))、余弦型函数(y=Acos(ωx+φ))、正切性函数(y=Atan(ωx+φ))图像与性质 1.解析式求法

  (1)y=Asin(ωx+φ)+B 或y=Acos(ωx+φ)+B解析式确定方法

  A、B通过图像易求,重点讲解φ、ω求解思路: ①φ求解思路:

  代入图像的确定点的坐标.如带入最高点(x1,y1)或最低点坐标(x

  2,y2),则x1

  2

  2k(kZ)或

  x2

  3

  2k(kZ),求值. 2

  易错提醒:y=Asin(ωx+φ),当ω>0,且x=0时的相位(ωx+φ=φ)称为初相.如果不满足ω>0,先利用诱导公式进行变形,使之满足上述条件,再进行计算.如y=-3sin(-2x+60)的初相是-60

  ②ω求解思路:

  利用三角函数对称性与周期性的关系,解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半;相邻的对称轴之间的距离是周期的一半;相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”:学好三角函数,图像是关键。

  易错提醒:“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x,不可针对-x或2x等. 例:

  “两域”: (1) 定义域

  求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2) 值域(最值): a.直接法(有界法):利用sinx,cosx的值域.

  b.化一法:化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值). c.换元法:把sinx或cosx看作一个整体,化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例:

  1.y=asinx+bsinx+c

  2

  2.y=asinx+bsinxcosx+ccosx 3.y=(asinx+c)/(bcosx+d)

  4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c “四性”: (1)单调性

  ππ

  ①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-ωx+φ<2kπ+,k∈Z解得, 单调递减区间由

  22π

  2kπωx+φ<2 kπ+1.5π,k∈Z解得;

  2

  ②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ+2π,k∈Z解得, 单调递减区间由2kπ<ωx+φ<2 kπ+π,k∈Z解得;

  ππ

  ③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-<ωx+φ<kπ+k∈Z解得,.

  22规律总结:注意ω、A为负数时的处理技巧. (2)对称性

  π

  ①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ+(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;

  2π

  ②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+(k∈Z) 解得;

  2③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得. 规律总结:φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (3)奇偶性

  π

  ①函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是奇函数φ=kπ(k∈Z),函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是偶函数φ=kπ2∈Z);

  ②函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是奇函数φ=kπ∈Z);

  kπ

  ③函数y=Atan(ωx+φ),x∈R是奇函数φ=(k∈Z).

  2规律总结:φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (4)周期性

  2π

  函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=,

  |ω|y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期T=

  考点六 常见公式

  常见公式要做到“三用”:正用、逆用、变形用 1.同角三角函数的基本关系

  π. |ω|

  π

  ∈Z);函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是偶函数φ=kπ(k2

  22

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