厂商研发的非合作和合作博弈模型分析

摘 要 建立一个两阶段博弈模型来分析两个相同公司间研发的非合作和合作情况,并通过比较研发的均衡水平、消费者剩余以及福利,得出如下结论：在研发过程中,与非合作情形相比，公司间进行合作时的均衡水平较高,消费者剩余和社会福利较大,因此两公司间研发的合作比不合作要好,并且这种合作是一种双赢的结果。
　　 关键词 研发(R&D) 两阶段博弈 子博弈完备均衡 博弈模型
　　 中图分类号 F124.3　　　　 文献标识号 A

1 引言
研发对一个公司来说至关重要，它是公司能够持续发展的关键因素。只有通过研发，公司才能推出新产品来保持和提高自己的份额。因此几乎每个公司都对研发投入了大量资金，并且研发经费占公司利润的比例有不断提高的趋势。但是，对每个公司来说，公司间的研发竞赛是次优的，这主要表现在：从社会总体发展来看，由于公司间研发的保密而使很多经费进行同样的研发，从而使社会资源产生浪费。从单个公司来说，研发间的竞争导致了公司的沉重负担，甚至有的公司不堪重负而破产。因此，公司间研发的合作是非常重要的，这不仅仅表现在社会资源的有效利用，而且表现在这种合作是一种双赢的结果。本文通过一些合理的假设探讨了两个相同公司间研发的非合作和合作博弈模型，并分析这种现象给出评价标准来进行对比分析。
2 非合作博弈模型
本模型是Cournot模型的一种推广，文中的许多假设和Cournot模型相同，所不同的是Cournot模型是一种完全信息静态博弈模型，而本文所给出的模型是一种两阶段博弈模型，即在Cournot模型的基础上加进了公司的研发投入阶段。
模型的若干假设：一个经济系统中只有两个相同的公司，也可以说这两个公司是对称的，即一个公司是另一个公司的复制，两个公司在投入，产出水平，以及上都是相同的，并设两个公司的初始单位成本为c，即没有进行研发时的成本，两公司所进行的两阶段博弈模型如下：在第一阶段，两个公司同时选择研发投入经费x1,x2后进行研发过程；在第二阶段，两个公司注意到研发投入经费x1,x2，生产出产品后在产品市场上进行竞争。
由于混合策略在公司进行决策时过于麻烦，并且公司的研发对于一个公司来说至关重要，有的研发一旦确定，就需要相当长的时间去完成，中途更改的机会成本很高，因此，本文只讨论纯策略时的情况，并且讨论的是一个一次博弈模型，而不考虑重复博弈时的公司行为，所以本文过多地关注纯策略子博弈完备均衡就不足为奇了。
在这里，假设两公司进行研发后，能够有效地降低其单位产品生产成本，而不是推出新产品，即我们的注意力放在研发对技术的贡献上。假设一单位的研发投入能够降低单位产品生产成本为f（x1）,f（x2）,其中f（x）=■（0 πi（xi,xj,qi,qj）=qi（p-）c-f）xi）））-xo
　　　　　　 =qi（a-（qi+qj）-c+f（xi））-xi
采用倒推法可以求得纯策略子博弈完备均衡，由于这两个阶段对两个公司来说都是知识，我们先假设在第二阶段两公司在产品市场进行竞争时，使得对方已达到均衡数量时使自己的收益达到最大，同样地，在求得第二阶段的均衡收益时可以以这个均衡为基础求出第一阶段的均衡收益，这就是所要求的纯策略子博弈完备均衡的收益值。其具体过程如下：
在第二阶段有■=0
　　　　　　　　■=0
由于两个公司是对称的，可解得：
q■■=■，q■■=■
即在第二阶段两公司得收益为：
　　*9仔■■(x1,x2,q■■,q■■)=■-x1
　　*9仔■■(x1,x2,q■■,q■■)=■-x2
　　由于两个公司在第二阶段都达到了预期的水平，在第一阶段两个公司也同样有这样的动机来达到这种情况，即假设另一个公司已经达到最优水平的情况下使自己的收益达到最大，这主要是建立在两个阶段都具有充分的共同知识的基础上。第一阶段的解为：
　　■=0
　　■=0
　　解得：x■■=x■■=32r(a-c)2，并且
　　*9仔■■(x■1,x■2,q■■,q■■)=9(a-c)2-x■■
*9仔■■(x■1,x■2,q■■,q■■)=9(a-c)2-x■■
由于所讨论的是两个同样的公司，所以本博弈模型的均衡为对称解，从上面的均衡可以算出消费者剩余S：
S=1/2b(q■■+q■■)2=2(■)
3 合作博弈模型
合作是指两个公司为了共同的目的而进行的一种妥协，两公司间研发的合作主要涉及的是双方对研发的投入与其所得之间的问题，可是在合作博弈中这并不能简单的解决这个问题，很有可能当两个公司由于研发费用的分担和收益的获得不平等的时候，这种合作就有破裂的危险，也就是说合作博弈所寻找的是让两个公司从根本上认识到这种合作对任何一方来说没有偏袒，所以这里主要解决的是两个公司如何分担费用和收益的问题。在这里我们依然沿用非合作博弈的框架来表述两个公司在研发方面的合作，只不过在合作博弈的第一阶段，两公司所进行的是研发费用的共同分担和研发的共同获益，并且研发费用的总和比非合作情况下要少很多，从这方面讲，研发的合作比不合作要好。两公司进行合作时，依然会出现利益冲突，因为一方的投入增加会导致另一方的投入会慢慢地减少，从而减少的一方会从中获得更多的好处，并且由于两个公司可能对研发的要求不一样而导致合作研发是否好的问题，在这里不考虑这种情况，公司所要求的只是按照博弈规则进行。为了反映双方的费用和收益之间的关系，在这里给出合作博弈的基本框架，并给出合作博弈的均衡解，从以下结果中可以看到这个均衡是唯一存在的。
在这里，合作博弈是从非合作博弈的基础上进行一种变换而来的，即其基本框架依然是非合作博弈，只不过我们寻找的是变换后的博弈模型的均衡解。设*9祝=（{1，2}，C1，C2，u1,u2）是一个博弈，ψ是一个合作变换，则ψ（*9祝）就为另一个博弈。在这里主要讨论的是一种两人讨价还价博弈模型(F,v)。设F={（u1（μ)，u2（μ））|μ∈△（C）}，△（C）为C=（C1，C2），为上的一个概率分布。在这里可以看出，F是非合作博弈情况下的解的可行集，对这个集合进行一些限制条件后就构成了合作博弈的解的可行集,即F∩{（x1,x2）|x1≥v1,x2≥v2}，这里F∩{（x1,x2）|x1≥v1,x2≥v2}，这里是非空有界的， v是不一致同意点，也即他们不进行合作也可以达到的点。其中非空有界集说明存在某个可行配置对两个局中人来说至少与不一致同意点一样好，但不可能出现超过不一致同意点的无界收益。对两个局中人来说，仅当F中至少存在一个配置y。都严格好于不一致同意配置v时，我们才称这个两人讨价还价问题（F,v）是实质上的，也就是这个可行集中至少存在一个均衡值。可以看出我们所讨论的合作博弈模型是实质上的。
设*9准（F，V）为R2中的某个配置向量，它是当F为可行配置集且v是不一致同意的配置下的讨价还价的结果。设*9准i（F，V）表示*9准（F，V）的第I个分量，即*9准（F，V）=*9准1（F，V）,*9准2（F，V），则对任一个讨价还价问题(F,v)，纳什讨价还价解的公理可表示如下：


　　(1)强有效性。*9准（F，V）是F中的一个配置，x≥*9准（F，V）且对F中的任一个x，则x=*9准（F，V）。即解是可行的且是帕累托有效的。
　　(2)弱有效性公理。*9准（F，V）=∈F且F中不存在任何y，使得y＞*9准（F，V）。
　　(3)个人理性。*9准（F，V）≥V即配置会越来越好。
　　(4)尺度协变性。对任意λ1＞0,λ2＞0,r1r2,若G={(λ1x1+r1,λ2x2+r2)|(x1,x2)∈F}且w=(λ1v1+r1,λ2v2+r2)，则*9准(G,w)=(λ1*9准1(F,v)+r1, λ2*9准2(F,v)+r2)即(F,v)的任何仿射变换不会影响效用函数的决策性质。
　　(5)无选择的独立性公理。对任一闭凸集，若G*9哿F，且*9准（F，v）∈G,则*9准（G，v）=*9准（F，v）。即讨价还价解并不会因为剔除那些不被选择的可行对象而