函数的傅里叶展开

一、内容精要（一）基本概念

1.函数的傅里叶展开

标准区间[-l,l]上的三角函数系：

1,cos

πx

l

,sin

πx

l

,cos

2πx2πxnπxnπx

,sin,,cos,sin,具正交*。即成立：不同两个函数乘积llll

在[-l,l]上的积分为零，而自身平方在[-l,l]上的积分不为零.（二）重要定理与公式定理7.12

（狄利克雷（dirichlet）定理）如果f(x)是以t=2l为周期的周期函数，而

且f(x)在[-l,l]上分段光滑，那么f(x)的fourier级数在任意点x处都收敛，并且收敛于f(x)在该点左、右极限的平均值，即

a0∞nπxnπxf(x-0)+f(x+0)

+∑(ancos+bnsin)=s(x)=,x∈(-∞,+∞),2n=1ll2

其中an=

1lnπx1lnπx

f(x)cosdx,n=0,1,2,;b=f(x)sin,n=1,2,3,.n??-l-lllll

1．将周期t=2l且知道一个周期区间[-l,l]上表达式f(x)展成傅氏级数的步骤：（1）确定f(x)的周期t=2l；

1l1lnπx

f(x)dx,a=f(x)cosdx,n=1,2,3,n??-l-llll1lnπx

dx,n=1,2,3,.称为f(x)的傅里叶系数，bn=?f(x)sin

-lll

nπx

若f(x)为偶函数，由f(x)sin为奇函数，则bn=0,n=1,2,,若f(x)为奇函数，知

l

nπx

f(x)cos为奇函数，则a0=0,an=0,n=1,2,；

l

（2）计算a0=

a0∞nπxnπx

（3）写出f(x)的傅里叶级数，+∑(ancos+bnsin);

2n=1ll

（4）

x∈(-∞,+∞),f(x)在x处连续?f(x),

a0∞nπxnπx?+∑(ancos+bnsin)=s(x)=?f(x-0)+f(x+0)2n=1ll,x∈(-∞,+∞),f(x)在x处不连续?2?

·293·

特别在x=±l+2kl处(k∈z)，傅氏级数和为注：s(x)是周期函数，周期t=2l.

2．将定义[-l,l]上的函数f(x)展成傅里叶级数的步骤：

f(-l+0)+f(l-0)

.

2

1l1lnπx

dx,n=1,2,3,,（1）计算a0=?f(x)dx,an=?f(x)cos

l-ll-ll1lnπx

dx,n=1,2,3,.bn=?f(x)sin

-lll

同样，若f(x)为奇函数知a0=0,an=0,n=1,2,3,若f(x)为偶函数，知bn=0,n=1,2,3,；

（2）傅氏级数

?f(x),x∈(-l,l),且f(x)连续,

a0∞nπxnπx?

+∑(ancos+bnsin)=s(x)=?f(x-0)+f(x+0)

2n=1llx∈(-l,l)且f(x)不连续?2?

在x=±l处，傅氏级数的和为s(±l)=

f(-l+0)+f(l-0)

2

注：1.傅氏级数在某点收敛，与f(x)在该点是否有定义没关系.2.s(x)是周期函数，周期t=2l.

当x∈(2kl-l,2kl+l)时，x-2kl∈(-l,l)，则

s(x)=s(x-2kl)=

f(x-2kl-0)+f(x-2kl+0)f(-l+0)+f(l-0)

，s(2kl±l)=.

22

3．将定义在(0,l)上的函数展成正弦级数的步骤：（1）计算bn=

2ιnπx

f(x)sindx,n=1,2,3,,而an=0,n=0,1,2,3,；?0ll

∞

x∈(0,l)且f(x)连续，?f(x)，

nπx?

（2）正弦级数∑bnsin=?f(x-0)+f(x+0)

l,x∈(0,l),且f(x)不连续。n=1?2?

s(0)=s(l)=0.

注：s(x)是奇函数、周期函数，周期t=2l当x∈(-l,0)时，有-x∈(0,l)，s(x)=-s(-x)=-当x∈(2kl-l,2kl+l)时，x-2kl∈(-l,l)，则

f(-x+0)+f(x-0)

2

s(x)=s(x-2kl).

4．将定义在(0,l)上的函数展成余弦级数的步骤：

··294

2τ2τnπx

dx;n=1,2,3,，（1）计算a0=?f(x)dx，an=?f(x)cos

l0l0l

而bn=0,n=1,2,3,；

?f(x),x∈(0,l）且f(x)连续，a0∞nπx?

（2）余弦级数+∑ancos=s(x)=?f(x-0)+f(x+0)

2n=1l,x∈(0,l）且f(x)不连续.?2?

s(0)=limf(x);s(l)=limx→ι'f(x).x→0+

注：s(x)是偶函数、周期函数，周期t=2l当x∈(-l,0)时，有-x∈(0,l)，s(x)=s(-x)=当x∈(2kl-l,2kl+l)时，x-2kl∈(-l,l)，则

f(-x+0)+f(x-0)

2s(x)=s(x-2kl).

二、考题类型、解题策略及典型例题

类型1.1函数展成傅里叶级数

解题策略函数展成傅里叶级数的方法比较规范，技巧不大。可按内容提要中函数展成傅里

叶级数的步骤去做，关健在于计算a0,an,bn(n=1,2,3,)，要利用定积分，很多情况下要利用分部积分，需要仔细，在计算之前，考察f(x)是奇函数，则an=0(n=0,1,2,),f(x)是偶函数，则

bn=0(n=1,2,)，以简化计算.

例11.1函数f(x)=x2,x∈[0,π]试求

（1）f(x)在[0,π]上的正弦级数；（2）f(x)在[0,π]上的余弦级数；（3）f(x)在[0,π]上以π为周期的傅里叶级数.

解（1）由f(x)在[0,π]上展成正弦级数，有an=0,n=0,1,2,,bn=

2

π

?

π

2?-x2cosnx2xsinnx2cosnx?π

xsinnxdx=?++?023

π?nnn?

2

2π(-1)n4[1-(-1)n]

-,n=1,2,,=3

nπn

因此，f(x)=x在[0,π]上展开的正弦级数为

2

·295·

?x2,0≤x

∑?-?sinnx=?3

πn=1?nn??0,x=π.

2

∞

[]

（2）由f(x)在[0,π]上展成余弦级数，则bn=0,n=1,2,3,,a0=

2

π

?

π

2

x2dx=π2,

3

an=

2

π

?

π

2?x2sinnx2xcosnx2sinnx?π4(-1)n

xsinnxdx=?+-,n=1,2,,?0=

π?nn2n3?n2

2

(-1)n

因此，f(x)在[0,π]上的余弦展开式为+4∑2cosnx=x2,0≤x≤π.

3n=1n

∞

π2

π

（3）由2l=π,l==

π

2

,a0=

2

π

?

222π2

xdx=π,an=?xcos2nxdx

3π0

2

2?12111?π

xsin2nx+xcos2nx-sin2nx=,n=1,2,,0232??π?2n2函数的傅里叶展开n4nn?

bn=

2

π

?

π

2?-x2cos2nxxsin2nxcos2nx?ππxsin2nxdx=?++=-,n=1,2,.?023

π?2nn2n4n?

2

因此f(x)在[0,π]上的傅叶里级数是

π3

π?1?

+∑2cos2nx-sin2nx?=x2,0

∞

这个例子告诉我，可以根据不同的需要，把一函数采用不同的方式展开为相应形式的傅里叶级

数形式，以便有利于解决问题。

cos(2n+1)nxπ2π2

例11.2*等式∑=-x,-1≤x≤1，并由此求数项级数2

84(2n+1)n=0

∞

∞

11

的和。∑∑22

n=0(2n+1)n=1n

∞

*只要把f(x)=x在[-1,1]上展成余弦级数，由f(x)是偶函数，则bn=0,n=1,2,3,

121212[(-1)n-1]

,n=1,2,3,,a0=?xdx=1,an=?xcosnπxdx=2?xcosnπdx=2200101πn

由f(x)在-1≤x≤1上连续，且f(-1)=f(1)，得

1∞2(-1)n-11∞-4

+∑cosnπx=+cos(2m+1)πx=x,-1≤x≤1,∑2n=1π2n22m=0π2(2m+1)2

∞

cos(2n+1)πxπ2π21π2

所以∑=-|x|,-1≤x≤1.在上述等式中令x=0得∑=,22

848(2n+1)n=0n=0(2n+1)

∞

[]

··296

∞∞∞

1111

由∑2是正项收敛级数，∑2=∑+,∑22

n=1nn=1nn=0(2n+1)n=1(2n)∞

∞∞3∞11π21π2

=,从而∑2=.∑=∑4n=1n2n=0(2n+1)286n=1n

1?x,0≤x≤?a0∞?2

s(x)=+∑ancosnπx，-∞

2n=1

?2-2x,1

an=2?f(x)cosnπxdx(n=0,1,2,),求s(-).

02

1

分析由余弦级数s(x)为偶函数，为周期函数，周期t=2，利用这些*质把s(-)转化到（0，1）上的函数值，从而与f(x)联系上。

5

2

1111f(-0)+f(+0)+(2-2?)

51111=3.解s(-)=s(-2-)=s(-)=s()=f()==22222224

·297·

第2篇：书画展开幕式邀请函

书画展开幕式邀请函一

尊敬的(先生女士)

您好!

在元旦新年佳节来临之际，由厦门市美术家协会、厦门市书法家协会、湖里区教育局联合主办书画家进校园谢水墨书画展，诚邀您于2023年12月31日上午10:00前往湖里实验小学参加开幕式!

书画展开幕式邀请函二

尊敬的家长及可爱的孩子们:

你们好!*书画博大精深，是我们取之不尽的艺术源泉，国子监教育为了进一步做好艺术文化教学的探讨和交流，更好的学习和弘扬中华传统文化，让学员及爱好书画的朋友们在快乐中体会艺术无限的魅力，我们诚挚的邀请你们参加国子监教育举办的第一届墨韵书画展的开幕式!

主题:情当浓如墨，韵当淡如水

时间:12月24日上午9:00

内容:1、参加书画展开幕式。

2、本校区家长及学员们请移步到各科教室与老师沟通交流学员年度交流学员年度学习汇报。

3、非本校区的家长参观校区及了解更多寒假优惠活动(转发公众号内容到朋友圈集赞截图反馈可获得相应优惠)

地点:国子监教育前门

特此邀请!欢迎您的光临!!!

参加此次画展的家长都可以参与以下两种活动:

1、100元代金券:国子监教育为回馈新老客户特推出集赞抵现金活动!转发朋友圈集赞满5个赞可领取代金券100元，该代金券适用于新生老生报读寒假班学费及常规班(双科或多科)半年至一年课程，截止时间至2023年1月10日。

一个微信号限领一次(需添加此微信号发送截图方可领取)每天限量30个名额!先到先得!还在等什么?动动您的手指赶快去集赞吧!

2、拼团巨惠:可参与2-4人拼班团报，折后价立减300元!。。

可参与5-7人拼班团报，折后价立减500元!

老生续报半年至一年课程，参团成功后再减300元!

支付100元定金参加拼团，拼团成功需立即报名。

地址:宝安西乡街道碧海富通城三期(农行旁)国子监

电话:xxxxxxxxxxxxxxxxxx李老师

本次活动最终解释权归xxxxxx有限公司

第3篇：参展的邀请函

参展邀请函篇一：

dearsirs/madam:

weherebysincerelyinviteyouandyourpanyrepresentativestovisitourboothatthecontinentalexhibitioncenterfromapril15thto20th20xx.

we’reoneofthemanufacturersspecializedinsanitaryware,concludingone&twopiecetoilet,washbasin,cabibasin,pedestalbasin,bidet,urinal,counterbasin,decoratedceramicsandsoon.ournewmodelsoffersuperbdesignandtheirnewfeaturesgivethemdistinctadvantagesoversimilarproductsfromothermanufacturers.

itwouldbeagreatpleasuretomeetyouattheexhibition.weexpecttoestablishlong-termbusinessrelationswithyourpanyinfuture.

exhibitioncenter:thecontinentalexhibitioncenter

boothnumber:g-k105g-k-106

date:apr15thto20th20xx

bestregards

参展邀请函篇二：

dearxxx,

wetreasureeveryopportunitytomeetwithyou,ourvaluedcustomer.

from28april-1may20xx,wewillbeexhibitingatthe“hongkonggifts&premiumfair20xx″.

wecordiallyinviteyoutovisitourbooth.

ourboothnumberis3d11inhall3.

youmayclickheretofindourlocation.

withpliments

xxxx(panyname)

参展邀请函篇三：

thecontinentalcentreisamagnificenttradefairvenueinpazhou.youcanreachuseasilybyanyofthefollowing4ways:

bymetro(subway)—takemetroline2towardpazhouandgetoffatpazhoustation(nexttoxingangdong),exitd.(thefastestwaywheningfromliuhuaarea)

byhotelshuttlebus—allhotelbuseswilldrivetocantonfairpazhouplexviathecontinentalcentre.sosimplyaskthedriverforastop.(esp.remendableforbuyerswhostayincacfairvfmhotelsandpartnerhotels)

bycacfairshuttlebus—takecacfairfreeshuttlebuswheningfromcantonfairpazhouplexoreasternrailwaystation.

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cacfairaddressinch

inese:<p